Введение в финансовую математику. Георгий Димитриади

годовые переменные:

      i_f = i / m, n_f = mn.

      Последнее соотношение легко интерпретируемо: при сроке n лет количество периодов размером «1/m года» равно mn.

      Тогда с использованием годовой процентной ставки итоговую формулу расчета наращенной суммы с использованием сложных процентов с начислением m раз в год можно записать как:

      S = P (1 + i / m)^mn .

      Поскольку, как было выяснено, формула сложных процентов с начислением m раз в год верна и для нецелого числа лет n, то и полученная формула верна для нецелого n. Более того, можно показать, что она остается верной и для нецелого m.

      Отметим, что всегда предполагается, что сложные проценты начисляются один раз в год, если не указано противное.

      Дня того, чтобы продемонстрировать зависимость наращенной суммы от количества начислений m раз в год, сведем в Таблицы 2 и 3 результаты расчетов при Р = 100 руб. и ставке i = 10% в Таблице 2 и ставке i = 25% в Таблице 3.

      Дискретное и непрерывное начисление процентов

      Зададимся вопросом: как изменится формула начисления процентов, если увеличивать количество m начислений процентов в год.

      Например, сначала предполагать, что m = 12, затем 24, 365 (ежедневное начисление), 365*24 (ежечасное) и др. При m, стремящемся к бесконечности, получим непрерывные проценты (проценты с непрерывным начислением):

      Сделаем замену z = m / i.

      Вспомним, что замечательный предел внутри скобок равен e. Тогда:

      S = Peⁿⁱ.

      Обычно годовую ставку начисления непрерывных процентов обозначают δ. Итоговая формула непрерывных процентов выглядит как: