Введение в финансовую математику. Георгий Димитриади

до года и по формуле сложных процентов – в остальных случаях.

      Различные процентные ставки

      Процентная ставка рассматриваемого кредита может быть как фиксированной (постоянной), так и переменной, в зависимости от условий договора. Примером переменной ставки является ставка вида «LIBOR1 + 1,5%». Ставки такого рода часто применяются на западных рынках. Произведем расчет наращенной суммы в случае переменной ставки.

      Предположим, что ставка кредита меняется в течение его срока. Пусть полный срок кредита n разбит на периоды длины n₁, …, n_k лет, причем в течение первого периода действовала процентная ставка i₁, в течение второго периода – i₂, …, в течение k-ого периода – i_k.

      Тогда в случае расчета по формуле простых процентов процентный доход за промежуток времени n₁ будет:

      I = in₁ P,

      …,

      за промежуток времени n_k :

      I = in_k P.

      В итоге наращенная сумма составит:

      Из полученной формулы можно сделать следующие выводы. Размер наращенной суммы не зависит от порядка чередования периодов с различными процентными ставками. Кроме того, если в два или более периода имело место одна и та же процентная ставка, то для целей расчета наращенной суммы их можно объединить в один период, длительность которого равна сумме длительностей исходных.

      Формулу можно переписать еще и так:

      где ν_m = n_m / n – доля промежутка n_m в полном сроке n рассматриваемого кредита. Получается, что для случая с переменной процентной ставкой можно ввести понятие эффективной процентной ставки простых процентов (см. об эффективных ставках подробнее ниже)

      рассчитываемой как взвешенная сумма процентных ставок каждого периода. Эту ставку можно использовать как единый эквивалент для расчета наращенной суммы:

      S = P (1 + i_эфф n).

      Теперь перейдем к аналогичному расчету с использованием методики сложных процентов. По истечении первого периода n₁ наращенная сумма составит:

      .

      Поскольку сложные проценты начисляются на капитализированную сумму, после второго периода n₂ наращенная сумма составит:

      После k-ого периода n_k найдем требуемую наращенную сумму:

      Из полученной формулы можно сделать следующие выводы, аналогичные тем, что были сделаны ранее для простых процентов: размер наращенной суммы не зависит от порядка чередования периодов с различными процентными ставками. Кроме того, если в два или более периода имело место одна и та же процентная ставка, то для целей расчета наращенной суммы их можно объединить в один, длительность которого равна сумме длительностей исходных промежутков.

      Аналогично предыдущему можно ввести понятие эффективной ставки сложных процентов (см. подробнее об этом ниже):

      Здесь ν_r = n_r / n – доля промежутка n_r в полном сроке рассматриваемого