В одном кубическом миллиметре умещается миллион, или 106, песчинок. Поскольку в одном кубическом метре содержится один миллиард кубических миллиметров, или 109, а в кубическом километре – один миллиард, или 109, кубических метров, то песчаное число Архимеда равно 106 × 109 × 109 × 1039. Это число равно 1063, или, иными словами, одному дециллиарду.
На самом деле Архимеда интересовало не само точное песчаное число. Своими вычислениями он хотел достичь двоякой цели.
Первое: способ написания греками чисел, при котором буквы алфавита служили одновременно символами чисел, мешал обозначению огромных чисел. Архимед поставил себе задачу обозначить дециллиард, для чего создал собственную систему счисления. Он ввел единицу «мириада», от греческого слова μυρίος, обозначающего нечто бесчисленное. В системе счисления Архимеда это число соответствовало десяти тысячам. Возводя мириаду в разные степени, Архимед смог без использования нуля, существование которого, как ни странно, было ему неизвестно, обозначать – по крайней мере, словесно – любое сколь угодно большое число.
Второе: дециллиард, по мнению Архимеда, было самым большим числом во Вселенной. Оперировать бо́льшими числами невозможно. Однако в математике, как был убежден Архимед, существуют и намного бо́льшие числа. Сам Архимед в одном из сочинений о песчаном числе упоминает громадное число 1080 000 000 000 000 000, то есть число, выраженное единицей с восемьюдесятью квадриллионами нулей, – но даже и это немыслимое и невообразимое число является, с точки зрения математика, малым. Ибо, с математической точки зрения, малым является любое число. Начиная с единицы, до любого числа можно перечислить лишь конечное число чисел, но за достигнутым числом находится бесконечное множество следующих чисел, которые еще предстоит перечислить.
Было бы интересно и занимательно выполнить оценку, подобную той, какую выполнил Архимед; при этом мы не станем прибегать к песчинкам и не станем пользоваться заниженным Аристархом размером Солнечной системы, а будем пользоваться наименьшими и наибольшими длинами, известными современной физике. Если скомбинировать гравитационную постоянную, являющуюся со времен Ньютона и Эйнштейна мерой силы тяжести, скорость света, являющуюся со времен Максвелла и Эйнштейна мерой всех электродинамических процессов, и квант действия, который со времен Планка и Бора является точкой отсчета квантовой теории, то мы получим так называемую планковскую длину (естественную единицу длины), которая равна 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 016 162 метра. Обычно это число записывают в краткой форме: 1,6162 × 10–35 метра, ибо первая, отличная от нуля цифра, единица, стоит на тридцать пятом месте после запятой. Теперь мы подсчитаем, сколько «кубиков» с «ребром», равным 10–35 метра, может уместиться во Вселенной, горизонт событий которой удален от нас на расстояние 50 миллиардов световых лет. То есть мы можем принять, что Вселенная представляет