Алгоритмы развития. Н. Н. Моисеев

являются уравнениями Эйлера. Другими словами, их решения являются экстремалями: на них этот функционал достигает своих экстремальных (или стационарных) значений. Этот чисто математический результат имеет глубокий философский смысл. В самом деле, живи мы в другой Вселенной с другими законами физики, все равно там были бы свои вариационные принципы, а значит, и своя «высшая целесообразность».

      Вариационная формулировка законов сохранения – это одно из главных эмпирических обобщений физики. Однако законы сохранения не исчерпывают всех принципов отбора, которые выделяют реальные движения из множества мыслимых. Вместе с тем оказывается, что и другим законам и ограничениям всегда можно придать оптимизационную формулировку. Особенно просто это сделать, если использовать способы описания, принятые в теории исследования операций¹². Пусть, например, движение материальной субстанции ограничено кинематическим условием непроницаемости преграды:

      (v_n) г = 0,

      где v_n – скорость частиц субстанции, перпендикулярная Г – некоторой поверхности, ограничивающей область пространства, допустимую для движения. Это условие можно переписать в следующем виде:

      w(x) =» min,

      где w(x) есть некоторый функционал, зависящий от фазовых переменных х. Его можно задать, например, в такой форме:

      Переформулировка ограничения в вариационной форме, т. е. в форме требования экстремума для некоторого функционала, может быть произведена бесчисленным количеством способов.

      К числу принципов отбора, допускающих оптимизационную постановку, относятся также принципы Онсагера и Пригожина.

      Таким образом, движение неживой материи мы всегда можем описать в терминах многокритериальной задачи оптимизации:

      где w₁ – это функционал, минимизация которого обеспечивает выполнение законов сохранения, w₂ – функционал, минимизация которого обеспечивает выполнение кинематических условий, и т. д.

      Из математического анализа известно, что одновременная минимизация нескольких функций (или функционалов) имеет смысл лишь при выполнении некоторых специальных условий. Обозначим через Ω₁ множество экстремальных значений функционала w₁. Тогда задача w₂ => min будет иметь смысл, если мы будем, например, разыскивать минимальное значение функционала w₂ на множестве Ω₁ и т. д. Таким образом, множество функционалов должно быть упорядоченным, а пересечение множеств Ω_i, минимальных значений функционалов w_i – непустым. Тогда требование (+) определит некоторое множество допустимых состояний w. Это множество и является ареной развивающихся событий.

      При описании явлений неживой природы функционалы w_i действительно всегда ранжированы, причем первое место принадлежит законам сохранения. Различные связи – голономные, неголономные – и любые другие