Изложенное определение в курсах математической логики описывает класс функций, называемых примитивно—рекурсивными функциями: «функция f (t,x), содержащая или не содержащая параметр t, называется примитивно—рекурсивной относительно функций a(t), b(t, x, y), если
(где никакая переменная, встречающаяся в правой части уравнения, не отсутствует в левой части, хотя некоторые переменные и могут отсутствовать в правой части)» [Гудстейн 1961: 73].
Р. Л. Гудстейн обращает внимание на черту аналогии с языком: «Предложение, содержащее свободные переменные, есть арифметический предикат» [Гудстейн 1961: 68].
Для лингвистики прежде всего важны две аналогии, связанные с основными единицами естественного языка: предложением (пропозицией) – пропозициональная функция и словом – слоеная функция.
2. Числовая функция в математике – Пропозициональная в лингвистике (иначе: высказывательная функция). Под последней понимается предложение как форма высказывания, выражающее некоторое суждение; в общей форме, как функция, предложение не завершено: оно содержит в своем составе незаполненные места, могущие быть заполненными словами или словосочетаниями данного языка; последние являются аналогами обозначений аргументов в числовой функции; при подстановке этих словесных переменных в высказывательную функцию она превращается в нормальное высказывание, истинное в том случае, если аргумент соответствует области определения аргументов для данной функции.
3. Числовая функция в математике – Словная функция в лингвистике. Словная функция представляет собой функцию достаточно специального вида (даже для математиков). В математическом смысле эта функция определяет со
бой имя в логико—математическом смысле термина. Мы назовем ее столь же специальным термином слоеная. В данной статье мы рассмотрим только один, еще более специальный ее случай, а именно такой, когда слово является именем существительным или именем прилагательным. Но одновременно это и наиболее типичный случай.
В основе этой функции, как для математики, так и для лингвистики, лежит одна и та же широко известная схема, называемая семантическим треугольником, или треугольником Фреге. (Она была известна уже схоластам XII века, и по справедливости ее нужно было бы называть именем Иоанна Солсберийского (он же Джон из Солсбери), но Фреге дал лучшее исследование ее на конец XIX в.; см. ниже II, 3.) Согласно этой схеме, имя состоит из (1) самого слова или знака слова в его внешней стороне – звучания или написания, (2) предмета обозначения, т. е. предмета, обозначаемого этим словом, – денотата, (3) смысла имени. В математической логике эти три сущности связаны отношениями функции, а именно так, что денотат является функцией смысла имени:
денотат имени N = f (смысл имени N)