то второе слагаемое тоже равнялось бы нулю. В таком случае
где S2 – средневзвешенная из дисперсий исходных выборок.
Таким образом, дисперсия суммы (или разности) независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.
В общем случае,
9. Закон распределения Пуассона и Гаусса
Закон Пуассона. Другое название его – закон ра-определения редких событий. Закон Пуассона (З. П.) применяется в тех случаях, когда маловероятно, и поэтому применение Б/З/Р нецелесообразно.
Достоинствами закона являются: удобство при вычислении, возможность вычислить вероятность в заданном промежутке времени, возможность замены времени другой непрерывной величиной, например, линейными размерами.
Закон Пуассона имеет следующий вид:
и читается следующим образом: вероятность появления события А в m раз при n независимых испытаниях выражается формулой вида (59), где а = пр – среднее значение p(A), причем а является единственным параметром в законе Пуассона.
Закон нормального распределения (закон Гаусса). Практика неуклонно подтверждает, что закону Гаусса с достаточным приближением подчиняются законы распределения ошибок при измерениях самых различных параметров: от линейных и угловых размеров до характеристик основных механических свойств стали.
Плотность вероятности закона нормального распределения (в дальнейшем Н. Р.) имеет вид
где x0 – среднее значение случайной величины;
τ – среднее квадратическое отклонение той же случайной величины;
e = 2,1783… – основание натурального логарифма;
Ж – параметр, который удовлетворяет условию.
Причина широкого применения закона нормального распределения теоретически определяется теоремой Ляпунова.
При известных Х0 и δ ординаты кривой функции f(x) можно вычислить по формуле
где t – нормированная переменная,
(t) плотность вероятности z. Если подставить z и (t) в формулу, то следует:
Кривую З.Н.Р. часто называют кривой Гаусса, этот закон описывает очень многие явления в природе.
10. Биноминальный и полиноминальный законы распределения. Равновероятное распределение. Закон распределения эксцентриситета
1. Биноминальный закон распределения. Этот закон математически выражается формулой разложения бинома (q + p)2 в следующем виде
где n! – читается как n-факториал,
Cnm – биноминальный коэффициент, выражающий количество сочетаний из n элементов по m, причем, n – положительное целое число.
2. Полиномиальный закон распределения (П/З/Р). В предыдущем случае рассмотрено два исхода появления случайного события А: или оно появится с вероятностью р, или не появится с вероятностью q = 1 – p.
Когда количество независимых испытаний равно n, то велика вероятность того, что каждое событие Vi произойдет n раз, где i =1, 2,..., k. Причем
определяется