4. Условная и полная вероятности
Условная вероятность – такая вероятность события А, которая вычислена при предположении, что событие Д произошло: при этом события А и В являются зависимыми, они обозначаются как Р(А /В) или Р(А)В.
Совместное (одновременное или последовательное) появление нескольких независимых событий А, В, С, Fназывается сложным событием. Вероятность сложного события определяется путем умножения вероятностей составляющих его событий.
Р (АиВиСи…иF)= Р(А) × Р(В)А × Р (САВ) ×… × Р(F)АВС.
В случае независимости событий (8) выглядит следующим образом.
Р (АиВиСи…иF)= Р (А) × Р (В) × Р (С) × … × Р (f).
Формула, которую привели выше, справедлива, если события А или В или С несовместимы. В случае их совместимости формула выглядит следующим образом:
Р(А ν В ν С)=Р(А) + Р(В) + Р(С) – Р(АиВиС).
Р (АиВиС)= Р (А) × Р(В) × Р (С)
С учетом этого получим
Р (А ν В ν С)=Р (А) + Р (В) + Р (С) – Р (А) × Р (В) × Р (С).
Теперь, после некоторого ознакомления с арифметическими операциями над вероятностями, можно привести формулу полной вероятности
В формуле предполагается, что событие А может произойти только с одним из n несовместимых событий B1….,Bn, то есть группа событий А и B1, или А и B2 и т. д. Любая группа из этого ряда равносильна появлению события А.
Пример 2. Пусть события D, Е, F независимые. Какова будет вероятность событий трех извлечений подряд небракованных деталей при условии, что выборка повторная.
Решение. При данном условии после извлечения каждый раз бракованной детали, а больше одной детали нельзя извлечь, количество бракованных деталей с каждым разом уменьшается на единицу. В третий раз будет извлечена последняя бракованная деталь.
5. Распределение случайных величин
Затрагивая вопрос о вероятности некоторого события, нельзя не говорить о закономерностях появления случайных величин.
Чтобы упростить ситуацию, эти величины делят на:
1) прерывные (дискретные) – например, количество некоторой продукции, не отвечающее установленным стандартам;
2) непрерывные – например, единицы той же продукции, которые имеют неодинаковые параметры, но эти параметры находятся в пределах границ предельно допустимого.
Зависимость между возможными значениями случайных величин и их вероятностями, выраженными конкретным способом, называется законом распределения случайных величин.
Для того, чтобы установить математическую форму этого закона, предположим, что дискретная случайная величина х может принимать значения х1, x2, x3…, хi…., xk, и пусть каждому из этих значений соответствует вероятность Px. Тогда ряд вероятностей, соответствующих значениям случайной величины х, будет иметь следующий вид Px,Px1,Px2,…,Pxi,…,Pxk.
Очевидно, что вероятность Px является некоторой функцией от переменной х и имеет вид: Px = f(х), где x = xi, i = 1, 2…, k.
Рассмотрим поведение этой функции для вышеприведенных двух видов случайных величин.
1. Случайная