Неужели топологи не замечают различий и все вещи для них на одно лицо? «Победа» топологически равноценна «поражению»? «Хорошо» топологически то же самое, что «плохо»? Кошка топологически эквивалентна рыбке и в аквариум нужно поставить маленький кошачий лоток?
Решайте сами, если у вас есть домашние питомцы. Но, играя в «Ростки», не стоит беспокоиться. Не все ходы эквивалентны. По сути дела, когда все начинается с двух точек, уже ко второму ходу возникает шесть топологически разных вариантов. Свободы становится все больше.
В «Точках-клеточках» мы имели дело с жесткой, прямолинейной геометрией, подобной градостроительному плану. «Ростки», напротив, свободолюбивая игра, похожая на хаос карнавального шествия.
Место и время рождения «Ростков» точно известны: Великобритания, Кембридж, вторая половина дня во вторник 21 февраля 1967 года.
Родители игры, кибернетик Майк Патерсон и математик Джон Конвей, рисовали закорючки на листе бумаги, пытаясь изобрести новую игру. Майк предложил правило с добавлением новой точки, Джон предложил название. Так родились «Ростки»[11]. Они поделили честь открытия в соотношении 60/40 в пользу Майка: эта честная и точная пропорция впечатляет не меньше, чем само рождение игры.
В «Ростки» просто играть, но сложно перебрать все варианты. Анализ игры, начинающейся с шести точек, занял у Дениса Моллисона 47 страниц. Никто не превысил эту планку до 1990 года, когда компьютер Bell Labs перебрал все варианты игры, начинающейся с 11 точек. На момент написания этой главы перебраны все варианты для игры, начинающейся с 40 точек, хотя Конвей перед кончиной в 2020 году скептически высказался на сей счет: «Вы поверите, услышав, что кто-то изобрел машину, которая может сочинить пьесу, достойную пера Шекспира? Это слишком сложно».
Отпугнула ли эта сложность игроков-любителей? Ничуть.
«На следующий день после того, как проросли "Ростки", – пишет Конвей, – в них стали играть все подряд. За чаем и кофе небольшие компании не могли взгляда оторвать от нелепых или фантастических вариантов развития игры… Общему поветрию поддались и секретари… Рисунки с "Ростками" можно было обнаружить в самых неожиданных местах… Даже мои дочки, которым три и четыре года, играли в них, хотя обычно я выигрывал».
Потому что среди разделов современной математики топология – одна из наиболее (1) динамичных, (2) причудливых, (3) полезных и (4) красивых.
Эпитетов много, так что разберем их по порядку.
Топология динамична. Топологи живут в изменчивом мире растягивающейся резины, расплавленного металла и тающего мороженого. Они постоянно ищут инварианты: свойства, которые остаются неизменными, несмотря на все перипетии.
Наиболее известный инвариант – эйлерова характеристика. Для «Ростков» все сводится к простому уравнению (это заметил Эрик Соломон): точки + области = линии + фигуры.
Это уравнение верно на любом этапе игры для всех возможных сценариев, от простейшего