Как математики решают задачи? Этот вопрос почти не изучался. Современные образовательные исследования на базе когнитивистики в основном ограничиваются изучением образования от начальной до высшей школы. Есть исследования, посвященные преподаванию математики в вузах, но их не так уж много. Кроме того, есть большая разница между освоением и преподаванием математики и новыми исследованиями в этой области. Многие из нас умеют играть на каком-нибудь музыкальном инструменте, но мало кто способен сочинить симфонический концерт или хотя бы написать популярную песенку.
Когда речь заходит о творчестве на высочайшем уровне, почти все, что мы знаем – или думаем, что знаем, – мы получаем путем самоанализа. Мы просим математиков объяснить ход их мыслей и пытаемся выделить в этих описаниях общие принципы. Одной из первых серьезных попыток понять, как думают математики, можно считать книгу Жака Адамара «Исследование психологии процесса изобретения в области математики»[1], вышедшую в 1945 г. Адамар расспросил ведущих математиков и физиков своего времени и попросил описать, как они думают в процессе работы над сложной задачей. И тут выявилась важная и даже необходимая роль того, что за неимением лучшего термина следует назвать интуицией. Их мысли направляло нечто подсознательное. Самые плодотворные их идеи и озарения не приходили постепенно, в результате логической пошаговой проработки, а возникали неожиданно, и весь процесс развивался скачкообразно.
Одно из самых подробных описаний этого на первый взгляд нелогичного подхода к логическим вопросам дал французский математик Анри Пуанкаре – один из ведущих ученых конца XIX – начала XX в. Пуанкаре отметился едва ли не во всех областях математической науки, внес радикальные изменения во многие из них и основал несколько новых ее разделов. В последующих главах мы не раз будем возвращаться к его работам. Кроме того, Пуанкаре писал научно-популярные книги, и, возможно, именно огромный опыт и широта кругозора помогли ему глубже понять процесс собственного мышления. Во всяком случае, он был твердо убежден, что осознанная логика – лишь часть творческого процесса. Да, бывают моменты, когда без нее не обойтись: к примеру, без логики невозможно понять, в чем именно состоит проблема, как невозможно и проверить