В школьной арифметике простые делители используют для поиска наибольшего общего делителя двух чисел. К примеру, чтобы найти наибольший общий делитель чисел 135 и 630, мы раскладываем их на простые множители:
Затем берем все простые числа, которые присутствуют в обоих разложениях, в наибольшей общей степени; получаем 32 × 5. Перемножаем, получаем 45. Это и есть наибольший общий делитель. Из этой процедуры создается впечатление, что без разложения на простые множители невозможно найти наибольший общий делитель. На самом деле с точки зрения логики все наоборот. Предложение 2 Книги VII «Начал» представляет метод поиска наибольшего общего делителя двух натуральных чисел без разложения их на простые множители. Метод состоит в последовательном вычитании меньшего числа из большего, а затем остатка из меньшего числа и т. д. до тех пор, пока есть остаток. Для тех же чисел 135 и 630 – это достаточно типичный случай для небольших чисел – процесс выглядит так. Вычитаем 135 из 630 столько раз, сколько сможем:
630 − 135 = 495;
495 − 135 = 360;
360 − 135 = 225;
225 − 135 = 90.
Поскольку 90 < 135, переходим к той же процедуре с участием чисел 90 и 135:
135 − 90 = 45.
Поскольку 45 < 90, продолжаем то же с числами 45 и 90:
90 − 45 = 45;
45 − 45 = 0.
Таким образом, наибольший общий делитель чисел 135 и 630 равен 45.
Эта процедура работает потому, что на каждой стадии происходит замена первоначальной пары чисел более простой парой (одно из чисел уменьшается), которая тем не менее имеет тот же наибольший общий делитель. В конце концов, одно из чисел делится на второе нацело, без остатка, и процесс поиска на этом завершается. В наше время подробное описание вычислительного метода, при помощи которого можно гарантированно найти ответ той или иной задачи, называют алгоритмом. Поэтому и процедура из «Начал» Евклида известна сегодня как евклидов алгоритм. Логически эта процедура первична по отношению к процедуре разложения на простые множители. В самом деле, Евклид использует ее для доказательства основных свойств простых делителей. В современных университетских курсах математики алгоритм Евклида используется с той же целью.
Описанная процедура целиком опирается на евклидово Предложение 30 и была бы невозможна без него. В современных терминах речь в нем идет о том, что если произведение двух чисел – то, что мы получаем при их перемножении – делится на некое простое число, то на это же число должен делиться один из сомножителей. Предложение 32 заключается в том, что любое число либо само является простым, либо имеет простой делитель. Объединив оба утверждения, несложно сделать вывод, что любое число есть результат перемножения простых множителей и что их набор единственный, если не брать во внимание порядок записи. К примеру,