указанной в задаче 1.1.3 а), сколько времени должно пройти, прежде чем популяция превысит 10, превысит 100 и превысит 1 000? Используйте MATLAB, чтобы вычислить это экспериментальным путём, а затем вычислите аналитически, используя логарифмирование и тот факт, что
. Обнаруживается ли закономерность в изменениях вычисленной продолжительности? Объясните, когда и почему значение стабилизируется.
1.1.6. Если бы данные в таблице 1.2 о численности докторов физико-математических наук были собраны по десятилетиям с момента основания института математики, соответствовали бы они геометрической модели? Будет ли численность соответствовать геометрической модели хотя бы в некотором временном интервале? Объясните наблюдаемое явление.
Таблица 1.2. Численность учёных в стране (сотни)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1,94 3,04 4,62 6,72 9,26 11,88 14,08 15,52 16,26 16,60 16,72
1.1.7. Заполните пропуски:
а. Модели
и
представляют растущие значения, когда
– любое число в диапазоне _______, а
– любое число в диапазоне _______.
б. Модели
и
представляют уменьшающиеся значения, когда
– любое число в диапазоне _______, а
– любое число в диапазоне _______.
в. Модели
и
представляют стабильные значения, когда
– любое число в диапазоне _______ и когда
– любое число в диапазоне _______.
1.1.8. Объясните, почему модель
не может иметь смысла для описания численности популяции, когда
.
1.1.9. Предположим, что популяция описывается моделью
и
. Найдите
для
.
1.1.10. Говорят, что модель имеет устойчивое состояние или точку равновесия при
если всякий раз, когда
, имеем
.
а. Перефразируйте определение следующим образом: модель имеет устойчивое состояние при
если всякий раз, когда
, имеем
.
б. Перефразируйте определение неформально: модель имеет устойчивое состояние
, если ___.
в. Может ли модель, описываемая равенством
иметь устойчивое состояние? Объясните почему.
1.1.11. Объясните, почему модель
приводит к формуле
.
1.1.12. Предположим, что на численность определенного населения влияют только рождение, смерть, иммиграция и эмиграция, каждая из которых происходит ежегодно в размере, прямо пропорциональном численности населения. То есть, если население составляет
, то в течение периода времени в 1 год число рождений составляет
, число смертей
, число иммигрантов равно
, а число эмигрантов равно
, для некоторых
,
,
и
. Покажите, что популяция все еще может быть смоделирована равенством
и
