В этой главе мы рассмотрим некоторые способы, которыми математика используется для моделирования динамических процессов в обучении математике. Простые формулы связывают, например, количество абитуриентов в определенном году с выпускниками последующих лет. Мы учимся понимать последствия, которые можно прогнозировать, составляя уравнение, средствами математического анализа, при этом наша формализация может быть проверена эмпирическими наблюдениями. Хотя многие из моделей, которые мы рассматриваем, могут на первый взгляд показаться грубыми упрощениями, их сила в простоте. Чем проще модель, тем яснее становятся предсказываемые её последствия исходя из самых базовых предположений.
Начнем с того, что сосредоточимся на моделировании того, как количество выпускников физико-математических классов растёт или сокращается с течением времени. Поскольку математические модели должны основываться на вопросах, вот несколько вопросов, которые следует учитывать: почему число выпускников иногда растёт, а иногда сокращается? Должны ли объемы выпусков вырасти до такой степени, что они станут неустойчиво большими, а затем сойдут до нуля? Если нет, то должно ли количество выпускников достичь некоторого равновесия? Если равновесие существует, какие факторы ответственны за него? Является ли такое равновесие настолько тонким, что любое нарушение может положить ему конец? Что определяет, следует ли данная тенденция одному из этих курсов или другому?
Начнём разбирать перечисленные вопросы с помощью самой простой математической модели изменяющейся численности населения.
1.1. Мальтузианская модель
Предположим, мы выращиваем не будущих математиков, а популяцию какого-то организма, скажем, мух, в лаборатории. Представляется разумным, что в любой данный день численность населения будет меняться из-за новых рождений, так что оно увеличивается за счет добавления определенной доли f от имеющегося населения. При этом часть d от имеющегося населения погибнет, условно, как бы цинично это не звучало, но многие профессиональные математики после выпуска вынуждены работать не по специальности, что смерти подобно.
Рассмотрим простейшую прикладную модель, которую предложил Томас Мальтус в своём очерке 1798 года о принципе народонаселения, неоднократно подвергавшемся всесторонней критике. Если люди живут в течение 70 лет, то мы ожидаем, что из большой популяции примерно 1/70 населения будет умирать каждый год; таким образом,
Вопросы для самопроверки:
– Объясните, почему для любой популяции
