Unter Voraussetzung ausreichend kleiner Winkel (sin α ≈ α) kann folgende Näherung genutzt werden:
Gl. 84
Der Durchmesser der Scheibe ist damit folgendermaßen bestimmbar:
Gl. 85
Unter nochmaliger Voraussetzung kleiner Winkel (sin α ≈ α) kann wieder vereinfacht werden:
Gl. 86
Wird die hier betrachtete großflächige (weit entfernte) Lichtquelle durch zwei (gleichfalls weit entfernte) - jedoch zueinander naheliegende - Punkt-Lichtquellen ersetzt, dann ergibt sich die durch Rayleigh untersuchte Situation, deren Darstellung auf der folgenden Seite zu sehen ist.
Das Rayleigh-Kriterium selber definiert (auf heuristischer Grundlage), dass zwei Lichtquellen dann noch als getrennt zu erkennen sind, wenn derer Abstand smin gleich oder größer dem Abstand des ersten Minimums vom Zentrum des Beugungsmusters (Airy-Scheiben) ist.
Abb. 77: Geometrische Zusammenhänge der Rayleighschen Auflösungsbestimmung (mit freundlicher Genehmigung von Dr. Bernd Schönbach [A24], durch Autor bearbeitet)
Da das Rayleigh-Kriterium nur anwendbar ist, insofern das Auflösungsvermögen tatsächlich nur durch Beugung begrenzt ist und das zur Identifizierung genutzte Beugungsmuster ein (erkennbares) Minimum aufweist, werden häufig andere Kriterien angewandt.
Beispielsweise bei Mikroskopen wird neben (statt) dem Rayleigh-Kriterium das Abbesche Verfahren zur Bestimmung der Auflösungsgrenze genutzt. Aufgrund der numerischen Apertur NA des Mikroskops und der Beleuchtungswellenlänge kann nämlich der Abstand zwischen zwei - gerade noch unterscheidbaren - Objektpunkten bereits anhand dieser bestimmt werden. Als Gleichung ausgedrückt:
Gl. 87
Hinweis: Die numerische Apertur NA bezieht sich auf den Linsenradius, weshalb also hier ein Faktor 2 steht, während in die Rayleighschen Gleichung der Linsendurchmesser eingeht.
Die Berechnung der kleinsten auflösbaren Objektstruktur (der kleinste noch unterscheidbare Abstand von zwei Punkten) kann unter Verwendung der oben beschriebenen Gleichungen und der obigen Abbildung wie folgt durchgeführt (bzw. genähert) werden:
Gl. 88
Bei beispielsweiser Annahme eines Linsendurchmessers (= Aperturblende) von 40 mm und eines Abstandes des zu messenden Objektes von 25 mm, erhält man die in der Tabelle 9 aufgeführten Werte für die Auflösungsgrenze:
Tabelle 9: durch Beugung verursachte (theoretische) Auflösungsgrenzen
| Optisches Instrument | Wellenlänge λmittel | Auflösungsgrenze smin |
| optisches Mikroskop (sichtbares Licht) | 0,3 μm | 0,23 μm |
| kurzwellige Thermokamera mit Mikroskoplinse | 3,5 μm | 2,67 μm |
| langwellige Thermokamera mit Mikroskoplinse | 10 μm | 7,62 μm |
Aufgrund der obigen Ausführungen kann festgestellt werden, dass die durch die Beugung in der Thermografie verursachte Auflösungsbegrenzung selbst im Falle mikroskopischer Messungen nur sehr selten auftritt. Die bereits erwähnten übrigen optischen und sensortechnischen Bedingungen begrenzen die Auflösung schon lange, bevor die Beugung eine Einschränkung verursachen würde.
2. 2. Signalverarbeitung, Signaldigitalisierung
Die auf Erfassung von Infrarotstrahlung basierende berührungslose Temperaturbestimmung erfordert eine numerische Verarbeitung des gemessenen Strahlungsintensitätswerts. Dies basiert auf dem mathematischen Modell, welches im theoretischen Kapitel als thermodynamische Grundgleichung diskutiert wurde. Dazu erforderlich ist natürlich vorab die Digitalisierung der analogen Detektorsignale, wobei die hierfür gültige theoretischen (mathematischen und messtechnischen) Regeln einzuhalten sind. Diese Regeln haben gleichzeitig einen starken Einfluss auf die Richtigkeit der Messergebnisse des berührungslosen Temperatur-Messgerätes (Infrarot-Thermometer und / oder Thermokamera) oder auch generell auf die messtechnische Anwendbarkeit des Gerätes.
2.2.1. Erzeugung zeitdiskreter Signalfolgen aus kontinuierlichen Signalen
Die Zeitkonstante periodischer Temperaturänderungen des Messobjekts (besser die Temperaturprozessfrequenz) stellt aufgrund des Funktionsprinzips der Thermokameras strenge Anforderungen bei der Signalbearbeitung dar. Wärmebildkameras (wie auch alle anderen digitalen Messsysteme) müssen die Signalabtastung dem Nyquist-Shannon-Abtasttheorem (von Wladimir Kotelnikow schon früher, bereits 1933 formuliert) entsprechend durchführen. Dieses Theorem besagt, dass mindestens die doppelte Frequenz der höchstfrequenten analogen Signalkomponente als Abtastfrequenz benötigt wird, um die für die korrekte Rekonstruktion des Signals erforderlichen Stützwerte zu erhalten. Wenn dieses Gesetz nicht eingehalten wird, tritt die sogenannte Unterabtastung (Aliasing) auf, welche bei einer periodischen Temperaturschwankung dazu führen würde, dass die Temperaturänderung als wesentlich langsamerer Vorgang (mit niedriger Frequenz) abgebildet würde, als der tatsächliche Prozess. (Siehe auch die folgende Abbildung.) Dies würde in vielen Fällen zu völlig falschen Schlussfolgerungen führen.
Abb. 78: Signalverfälschung durch Unterabtastung (Verletzung des Abtasttheorems)
Daher ist bei jeder Messaufgabe in der Thermografie die Bildwiederholrate ein kritischer Parameter, sobald (auch bei der Annahme, dass keine beweglichen Objekte erfasst werden) Temperaturänderungen zum Zeitpunkt der Messung auftreten. Wenn beispielsweise die Temperaturänderung mit 1/10 Sekunden Zeitkonstante (Periodizität) abläuft, erfordert die obige Regel eine Bildwiederholfrequenz von mindestens 20 Hz (besser noch 25 Hz). Dies ist auf den ersten Blick keine kritische Anforderung für die meisten modernen Wärmebildkameras. Betrachten wir jedoch ein Messobjekt aus der Leistungselektronik, wo Aufheiz- und Abkühlvorgänge sogar mit bis zu 300 Hz vorkommen können, dann ist zu dessen korrekter Er - fassung eine 600 Hz überschreitende Bildwiederholfrequenz erforderlich. Dies ist nur mit extrem schnellen, auf Photonendetektor basierenden Thermokameras lösbar!
Die Einhaltung dieser messtechnischen Grenze ist natürlich nur für unbewegliche Objekte ausreichend. Wenn sich das Objekt und die Kamera relativ zueinander bewegen, muss darüber hinaus die sich aus der Bewegung ergebende Verlängerung (Verzerrung) der einzelnen Pixel ebenfalls berücksichtigt werden. Dies wird detailliert im Absatz 3.2.11 „Bildwiederholrate (Bildfrequenz)