Как мы видим, вынесение общего множителя за скобки – операция, идентичная приведению подобных членов.
Произведение двух или нескольких одночленов можно упростить лишь тогда, когда в них входят некоторые степени одних и тех же букв или числовые коэффициенты. При этом показатели степеней у соответствующих букв складываются, числовые коэффициенты перемножаются.
Пример: -10x2y×3x3y2 × (-xy3) = -10×3× (-1) (x2x3x) (yy2y3) = 30x6y6.
Для лучшего понимания, мы расписали это действие более подробно, хотя оно довольно прозрачное и может делаться устно.
Частное двух одночленов можно упростить, если делимое и делитель содержат некоторые степени одних и тех же букв или числовые коэффициенты. При этом показатель степени делителя вычитается из показателя степени делимого, а числовой коэффициент делимого делится на числовой коэффициент делителя.
Пример: 6x3y8z7: 2xy5z3 = 3x2y3z4.
Здесь числовой коэффициент делимого разделили на числовой коэффициент делителя, вычли показатели степени буквы x (3—1=2), буквы y (8—5=3) и буквы z (7—3=4).
При делении двух одночленов могут возникнуть две ситуации, которые требуют дополнительного пояснения.
1.Если показатели степени у некоторой буквы в делимом и делителе одни и те же, то в частное эта буква не войдёт (ведь нулевая степень любого числа равна единице).
Пример: 12x3y4: 4x3y2 =3y2.
2.Если показатель степени какой-нибудь буквы в делимом меньше, чем показатель степени той же буквы в делителе, то вычитание даёт отрицательную степень этой буквы.
Пример: 8x3y5: 2x5y3 = 4x-2y2 = (4y2) / (x2)
При возведении одночлена в степень используется правило возведения степени в степень.
Пример: Возведём одночлен 2a4b2 в четвертую степень.
(2a4b2) 4 = 24 (a4) 4 (b2) 4 = 16a16b8.
Не забывайте, что показатели степеней при данном правиле перемножаются.
Сумма одночленов называется многочленом.
Например, 4x2y +3a -7b2 – многочлен, состоящий из суммы одночленов 4x2, 3a, -7b2.
При сложении и вычитании многочленов снова получается многочлен.
Пример. Сложим многочлены x3 +2x2y2 – 7x2 + y и 3x3 – x2y2 +5x2 – 3y.
Составим сумму многочленов, затем раскроем скобки и приведём в полученном многочлене подобные члены.
(x3+2x2y2—7x2+y) + (3x2– x2y2 +5x2 – 3y) = x3 +3x3 +2x2y2 – x2y2 – 7x2 +5x2+ y – 3y = 4x3 + x2y2 – 2x2 – 2y.
Здесь одновременно с раскрытием скобок мы сгруппировали подобные члены (для удобства вычислений).
Аналогично, производится и вычитание многочленов. Не забывайте, если перед скобкой стоит знак «минус», то все члены, заключаемые в скобки, меняют свой знак на противоположный.
Пример. (4x2y – 7x3 +5y – 3) – (-2x2y +5x3– 3y +2) =4x2y – 7x3 +5y -3 +2x2y -5x3 +3y – 2 = 6x2y – 12x3 +8y – 5.
Произведение многочленов.
Произведение одночлена и многочлена всегда можно представить