И здесь мы приходим к третьему и, пожалуй, самому популярному среди самих математиков направлению – математическому платонизму. Суть этого подхода в том, что числа рассматриваются как отдельная независимая от физического мира реальность, некая «матрица», из которой возникает материальная вселенная2. К подобному выводу можно прийти путем примерно таких рассуждений: в материальном мире нет ничего вечного: с деревьев падают листья, гниют яблоки, стареют люди, империи, галактики, в то время как числовые закономерности существовали и будут существовать всегда.
Как некую альтернативу платонизму можно рассматривать математический логицизм. Он объясняет вечность чисел тем, что законы арифметики целиком сводятся не к метафизике, а к законам формальной логики, а последние не обладают содержанием, а являются лишь формой мышления3. Но тут возникает нечто очень странное. Мы выводим числовой ряд путем однообразного алгоритма прибавления единицы – однако получаем в результате удивительное полотно с математическими узорами, которые никак не вяжутся с формально-логическими тавтологиями. К примеру, есть такие числа, как 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 …, их называют простыми. Они делятся только на себя и на единицу. И вот оказывается, что простые числа набросаны во множестве натуральных без всякой логики, словно полезные ископаемые или семена диковинных растений. Откуда они появились в человеческом разуме, до сих пор остается загадкой.
Напрашивается удивительный вывод: наше мышление имеет доступ к информации, которую невозможно получить через органы чувств или вывести чисто логически. Возникают вопросы: каковы же тогда возможности нашего интеллекта и каков источник этого знания?
Натуральные числа – лазейка в интеллектуальный лабиринт, ведущий в глубочайшие тайники человеческого мышления и, по-видимому, самой реальности.
Скатерть улама, или как найти бездну в собственном разуме
В 6-м классе школьники, как правило, знакомятся с простыми числами. Для тех, кто забыл, напоминаем: натуральными мы называем числа, которые используем для счета предметов: 1, 2, 3, 4, …, 10, 11, 12, 13, 14… и так до бесконечности. Соответственно, все, что не входит в это множество, натуральными числами не является – например, отрицательные числа или дроби.
Простыми мы называем все натуральные числа, которые делятся только на себя и на единицу: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и т. д. Все остальные числа называются составными. Например, 12 = 3 * 2 * 2, т. е. число 12 разбивается на три простых множителя. Аналогично каждое составное число можно «построить» из простых,