Школьник постарше, знакомый с понятием делимости, сразу формулирует это иначе: доску нельзя разрезать на тримино (хоть на прямые, хоть на угловые), потому что её площадь не делится на 3 (не делится без остатка, как принято называть это явление в школе2). Интересно, что на резонный вопрос «А почему она должна делиться?» некоторые из них ответить не могут, то есть это наблюдение настолько интуитивно очевидное, что далеко не всегда ребёнок задумывается над его причинами.
Итак, если шахматную доску (а, вообще говоря, любую клетчатую фигуру с целой площадью) можно разбить на полимино определённого вида (а, вообще говоря, на любые фигуры с целой площадью), то и площадь доски (большей фигуры) обязательно должна делиться на площадь этого полимино (меньшей фигуры). Более того, частное при этом делении равно количеству фигурок, получающихся при разрезании (это наблюдение пригодится нам в дальнейшем).
Условие делимости площадей является необходимым, то есть если площадь доски не делится на площадь маленьких фигурок, то разрезать точно не удастся. Обратное неверно!
Но для тримино всё работает идеально в нужную сторону: площадь шахматной доски (64 клетки) не делится на площадь тримино (3 клетки), поэтому её невозможно разрезать ни на прямые, ни на угловые тримино.
Так как 64 делится на 4, то никаких очевидных проблем с разрезанием доски на тетрамино не предвидится. Действительно, на прямые, квадратные, L- и T- тетрамино её разрезать можно.
Рисунок 6. Разбиение на прямые тетрамино
Рисунок 7. Разбиение на квадратные тетрамино
Рисунок 8. Разбиение на L-тетрамино
Рисунок 9. Разбиение на T-тетрамино
С косыми тетрамино ситуация оказывается интереснее. Иногда школьники, не поверившие в то, что необходимого условия может оказаться недостаточно, просто говорят, что площадь делится на 64, поэтому разрезать можно. На просьбу показать пример отвечают, что у них не получилось.
На самом деле разрезать шахматную доску (как и любой другой прямоугольник) на косые тетрамино нельзя. Классическое доказательство этого факта такое: предположим, что у нас получилось, тогда каждая клетка доски входит в какое-то косое тетрамино. Рассмотрим угловую клетку, у неё есть всего два варианта, какой тетраминошкой она покрыта (на самом деле эти варианты одинаковы с точностью до поворота доски).
Рисунок 10. Варианты покрытия угловой клетки косым тетрамино
Тогда третья от угла клетка покрыта однозначно, тогда и пятая от угла покрыта однозначно, а для покрытия седьмой от угла уже не остаётся никакой возможности.
Рисунок 11. Покрытие стороны косыми тетрамино
Такое же рассуждение