Рассмотрим участок кольца, который находится под углом α к направлению движения (рис. 2). Пусть в данный момент времени скорость центра масс кольца равна v, а скорость вращения обода u = ωR, где ω – угловая скорость вращения в данный момент, а R – радиус кольца. Этот кусочек кольца участвует в поступательном и вращательном движении. Его скорость относительно поверхности показана на рисунке серой стрелкой. Она составляет угол β с направлением поступательного движения, причем
Рис. 2. Скорости и силы на маленьком участке кольца
Эти выражения выглядят громоздкими, но они получаются из обычных формул сложения двух векторов скоростей.
Сила трения, действующая на этот участок, по модулю равна F = μmg (здесь m – масса участка кольца) и направлена в противоположную от скорости сторону. У этой силы есть проекция на направление поступательного движения, – F cos β, и проекция на касательную к кольцу, которая притормаживает вращение, – F sin (β – α). Не стесняясь, подставим сюда выражения для синуса и косинуса угла β, а также учтем, что sin (β – α) = sin β cos α – cos β sin α:
У этой силы есть также проекция вбок, то есть перпендикулярно поступательному движению, но при усреднении по всему кольцу эта проекция обнулится. В этом можно убедиться математически, если рассмотреть второй участок, находящийся под углом π – α. Для него построение аналогичное, две притормаживающие проекции будут такими же, а сила вбок – ровно противоположная.
Для того чтобы посчитать эффект для всего кольца в целом, надо сложить эти силы по всему кольцу, то есть учесть элементы кольца, расположенные под всеми углами α. Это даст нам два ускорения, притормаживающих поступательное движение и вращение:
Угловые скобки обозначают усреднение по всем углам α; это последствие того, что мы общую силу поделили на общую массу. При желании его можно выразить через интегралы, но это не обязательно.
Заметьте интересную особенность полученных формул: при замене u на v выражения для au и av превращаются друг в друга. Такая «дуальность» задачи автоматически означает, что если бы начальные скорости u и v были равны, то ускорения au и av тоже были бы одинаковые и, значит, соотношение u = v выполнялось бы всегда, до самой остановки. А это, в свою очередь, означает, что вращение и скольжение в данном случае прекратятся одновременно. Смотрите, произошло математическое «чудо»: мы, просто глядя на формулы, вдруг получили ответ для нашей задачи, по крайней мере для одного начального состояния!
А что изменится, если начальные скорости u и v различаются? Тогда ускорения тоже будут отличаться, и, казалось бы, заранее не понятно, что будет замедляться быстрее. Чтобы