Estructuras de álgebra multilineal. Joaquín Olivert Pellicer

rel="nofollow" href="#fb3_img_img_e6c22d4f-3999-571e-8ed6-739d03c7c5b5.jpg" alt="image"/>, entonces x + 1 es ordinal y es el E-primer elemento de

       Demostración :

      Evidentemente x {x} es saturado, ya que x es un ordinal. Además E conecta a x {x}, ya que x x {x} y E conecta a x. Esto hace que x + 1 sea ordinal.

      Supongamos que exista un elemento

      con u < x + 1 . Esto hace que u x {x}, con lo que, o u x, o u = x. Pero por (2.21.1) x u. Estas conclusiones contradicen las Proposiciones 2.1, 2.2, lo que prueba que x + 1 es el E-primer elemento de {y : y O con x < y}.

      Proposición 2.22: Si x , se tiene que (x + 1) = x.

      Trivial.

Definición 2.23 :

      Proposición 2.24: Si f es una aplicación, f|x es una función de dominio def|_x = x ⋂def f, y además

      También es una proposición inmediata de la Definición 2.23.

      Finalizamos esta Sección estudiando ei teorema final de los ordinales que, a su vez, precisa de un lema previo.

      Lema 2.25: Sea f una aplicación tal que su dominio sea un ordinal y sea g una función que verifique f(u) = g(f|u) para cada u def f. Si h es también una función de manera que su dominio sea un ordinal y h(u) = g(h|u) con u def h, entonces h ⊂ f ó f ⊂ h. Demostración :

      Al ser def f y def h ordinales, podemos suponer que def f ⊂ def h (en virtud del Teorema 2.10).

      Probemos que f(u) = h(u), ∀u def f :

      Supongamos que no se verifica. Consideremos que u sea el E-primer elemento de def f tal que F(u) ≠ h(u). Entonces f(v) = h(v) para los elementos v E-anteriores a u, es decir, v u. Esto hace que f|u = h|_u. En consecuencia,

      Sabido esto, como las imágenes de estas dos funciones coinciden en def f, resulta que f ⊂ h.

      Se prueba la inclusión contraria si se hubiera partido de def h ⊂ def f.

      Teorema 2.26: Para cada g existe una función f, cuyo dominio def / es un ordinal, que verifica f(x) = g(f|x) para todo número ordinal x.

       Demostración :

      Probaremos este teorema tanto para ordinales x def f como para los que x def f.

      Para el primer caso, definamos la relación binaria f del siguiente modo: Los pares ordenados (u, v) f verifican u s . Para definir la segunda componente, tomemos una aplicación h cuyo dominio def h sea un ordinal y que verifique que h(z) = g(h|z) para cada z def h. (Sobre la existencia de h, hemos de decir que se construye a partir de un ordinal z, pues de este modo queda definida para los ordinales y z). Entonces elegimos v de manera que (u, v) h.

      Debido a que las restricciones de h coinciden (Lema 2.25), f es una función. Además, de la definición de sección (Definición 1.5) y de la Proposición 2.8, resulta que def f es una E-sección de y, por tanto, es un ordinal (Teorema 2.15). Es más: Dado que h(z) = g(h|z) para z def h, por definición de f, h ⊂ f, con lo que

      Consideremos ahora x ~ def f. En virtud del Teorema 2.9 del Capítulo 1, f(x) = .

      Por otra parte, al ser def f conjunto, el Corolario 6.3 del capítulo citado asegura que / es conjunto.

      En el caso de que f def g, el Teorema 2.9 citado afirma que g(f) es conjunto. Tomemos a continuación el ¿-primer elemento y de ~ def f y h = f {y, g(f)}. Puesto que def h = def f y también es saturado y es conectado por E. Luego def h es ordinal. A su vez se cumple de la misma definición de h que h(z) = g{h|z) para todo z def h. Aplicando el Lema 2.25, h ⊂ f . Esto conduce a que esta última aplicación h es de las que define la función f, lo que conduce a que y def f, que es contradictorio, ya que y Скачать книгу