rel="nofollow" href="#fb3_img_img_aa45b8d2-3a1a-5cfe-9072-67815462467d.jpg" alt="image"/>-primer elemento
z. Este
z debe coincidir con
u o con
v, es decir que es falsa una de las proposiciones, a saber:
(u,v) o (v,u)
. Luego
posee la
Propiedad asimétrica.
Si no fuera transitiva, habría elementos u, v, w de X que cumplirían (u, v) , (v, w) (w, u) , puesto que conecta a X. Entonces el subconjunto {u} {v} {w} X no tendría -primer elemento, lo cual es contradictorio en los conjuntos bien ordenados.
Definición 1.5: Y es una -sección de X si Y X y ordena bien a X de manera que para cada u, v tales que u X, v Y con u v se tenga que u £7.
En otras palabras, diremos que, si un orden ordena bien a un conjunto X, un subconjunto Y de X será una -sección si ningún elemento de X ~ Y precede a los elementos de Y.
Proposición 1.6: Si y ≠ , y cada elemento de y es una -sección de x, entonces y, y son -secciones de X.
Demostración :
Obsérvese que los elementos de y o de y pueden precederse unos a otros; pero ningún elemento de los complementarios x ~ y o de x ~ y precede a los elementos de las clases citadas. En consecuencia, y y y verifican las condiciones dadas en la Definición 1.5 para que sean - secciones.
Teorema 1.7: Si Y es una -sección de X con Y ≠ X, entonces existe un v X de manera que
Demostración :
Sea y es una -sección de X que no coincide con X. Debido a que TZ ordena bien a X y X ~ Y X, la Definición 1.2 asegura que X ~ Y posee ft-primer elemento v. Si consideramos que u £ X con u v, résulta que u X ~Y. Con ello se ha probado que
Tomemos u Y. Por ser Y -sección, es falso que v u. Y como ordena bien a X, uv. Esto prueba la inclusion contraria.
El siguiente resultado es inmediato por lo que lo damos sin ningún comentario :
Proposición 1.8: Dadas dos -secciones Y, Z de X, se verifica que Y Z ó Z Y.
Definición 1.9: Consideremos dos órdenes , S. Se dice que una aplicación f conserva el orden -S si 1Z ordena bien a def f y S ordena bien a Im f de manera que f(u) S f(v) si u v.
Teorema 1.10: Si ordena bien a X y f es una aplicación de una - sección Y en X, de manera que conserve el orden -, entonces es falso que f(u) u, ∀ u Y.
Demostración :
Basta probar que
Supongamos que no lo sea. Entonces posee un ft-primer elemento v, que por pertenecer a Y', f(v) v; y al conservai / el orden, f(f{v)) f{v).
Si tomamos un u X de manera que u v, resulta que u Y' (ya que v es un ft-primer elemento de y’), y por tanto, o u f(u), o u = f(u). Del mismo modo se tiene que f(v) Y' que conduce a que, o f(v)f (f(v)), o f(v) = f (f(v)), que resulta ser contradictorio con lo anterior. Esto hace que Y' = .
Teorema 1.11: Si f conserva el orden -S, entonces f es una aplicación inyectiva y f-1 conserva el orden S-.
Demostración :
Tomemos
Entonces no puede verificarse por separado x y ni yx. En consecuencia, x = y.
Consideremos que f(u) S f(v). Entonces u ≠ v; y debido a que f conserva el orden - S, u v. Esto hace que f-1 conserve el orden S - .
Teorema 1.12: Si f y g son aplicaciones de X en Y que conserven el orden - S, def f y def g son secciones de X, e Im f, Im g son secciones de Y, entonces f g ó g f.
