Javier Bracho Carpizo
Doy inicio a esta charla con el siguiente comentario: motivados por el SUMEM, el Dr. José Luis Abreu y yo hemos trabajado, ya durante varios años, analizando qué es lo que debemos enseñar. Sin embargo, del tema “el pensamiento matemático”, que considero de vital importancia, puedo decir en un principio: es como una práctica individual. Más que aprender, es algo que debe experimentarse. Por ende, surge la pregunta: ¿cómo abordar problemas y usar herramientas en matemáticas?
Es una manera diferente de pensar en matemáticas, y esta manera de pensar ha ido cambiando históricamente. Ahora estamos viviendo un momento de grandes cambios y hay muchas influencias; en esta charla hablaré de algunas de ellas.
Cuando se plantea un problema hay diferentes formas de resolverlo y eso, definitivamente, enriquece su entendimiento; desde este punto de vista voy a tratar dos aspectos.
Por ejemplo: ¿qué pasa con la enseñanza de la geometría? Se encuentra muy apegada a un esquema estrictamente histórico muy rígido, que nos hace sentir que la geometría se acabó cuando llegó Descartes y desarrolló la geometría analítica, y nos hicieron pelear con unas ecuaciones para determinar a las elipses y a las hipérbolas. Pero antes de eso estuvieron los griegos… es lo que nos enseñan. Lo que quiero mostrar hoy es que no tiene que ser así, pero estamos muy acostumbrados a enseñar lo que nos enseñaron. Creo que esto es un error, y eso nos sucede históricamente. No habría evolución del conocimiento, cada generación tiene que llegar más rápido que la anterior a la frontera del conocimiento, y eso implica que debemos cambiar lo que enseñamos y cómo enseñamos. Finalmente, lo último que quiero comentar es que todos nuestros programas, hasta ahora que apareció el SUMEM, están enfocados en el bachillerato, es decir, a llevarnos al cálculo como si el cálculo fuera lo máximo de la creación en matemáticas, y cuando llegamos al cálculo como algo acabado, esto resulta no ser cierto: las matemáticas han seguido y el cálculo es algo que se inventó hace muchos siglos.
En el siglo XIX hubo algo que se llamó la geometría no euclidiana, y siglos más atrás se descubrió la perspectiva, y eso no aparece en nuestros programas de estudio. Son dos hechos que involucran a la matemática de manera fundamental y no sólo eso, las geometrías no euclidianas influyeron en la física de una manera profunda, pero los alumnos salen del bachillerato sin haber tenido nunca una clase sobre geometría no euclidiana o perspectiva, desde el punto de vista matemático.
La geometría que hicieron los griegos realmente surgió milenios antes como técnica, con los babilonios. Los matemáticos babilonios eran geniales. Había unas tablas maravillosas de ternas, que ahora llamamos ternas pitagóricas, y eso era hacer matemáticas: descubrir ternas pitagóricas, por ejemplo, 3, 4 y 5 que hacen el ángulo recto, entonces había muchas ternas pitagóricas, que era lo que sabían los egipcios. Había también tablas para medir ángulos que hicieron para las pirámides. Milenios después llegan los griegos y usan toda esa tecnología, digamos, para hacer teoría. Y eso es lo que llamamos geometría. Lo mismo pasa en el Renacimiento: los pintores descubren la técnica de perspectiva y la entienden como entendemos el mundo, porque ésta se basa en el principio de proyección, que es como se pintan los cuadros; pero, por otro lado, la evolución había diseñado el ojo. El ojo funciona precisamente con el principio de proyección: deja pasar aquellos rayos de luz que pasan por un punto, y se proyectan en una pantalla llamada retina. Entonces, ese principio de proyección por un punto en la línea está en una pantalla llamada retina, y luego el “cableado” del cerebro hace que la información que tiene la retina sea lo que entendemos por el mundo. Siempre estamos viendo proyecciones. Pero no es hasta cuando se incorporan en las matemáticas en el siglo XIX, con Morris Kline, que en la geometría proyectiva se encuentran las tres geometrías no euclidianas. El plano hiperbólico, dentro de la geometría proyectiva, es algo muy importante hoy, porque en ésta se basa toda la industria del cine y la de los videojuegos. Todos los programas de animación utilizan geometría proyectiva. Por tanto es algo de lo más actual, que deberíamos saber; sin embargo, casi nadie sabe nada de esto, pareciera que le tenemos miedo.
Se pueden mostrar algunas construcciones muy simples, por ejemplo: la construcción del armónico. Esta construcción se realiza en “Geogebra”, que es un programa muy sencillo que diseñó Markus Hohenwarter.
También podemos ver la reflexión armónica, una vez hecha la construcción anterior. Construcciones que con lápiz y papel son muy difíciles de mostrar, puesto que estamos trabajando en la tercera dimensión. En este contexto podemos hablar de una demostración geométrica, en donde intervienen muchos conceptos matemáticos como las proyecciones, la reflexión, el infinito, etcétera.
Es maravilloso poder utilizar hoy en día estos recursos para una mejor comprensión e interpretación, con algo totalmente diferente que simplemente la pura abstracción. Espero haber contribuido con un granito de arena para motivar su inquietud y se den cuenta de que las matemáticas son más que sólo operaciones.
Gracias
LA IMPORTANCIA DEL PENSAMIENTO MATEMÁTICO EN EL CONOCIMIENTO Y LA CULTURA
Ricardo Cantoral
En estos momentos de reconstrucción, la pregunta que todos tenemos es: ¿yo qué puedo hacer? Esta cuestión genera mucho agobio porque en algunas profesiones naturalmente se sabe qué hacer, pero hay otras con tantas incógnitas que en más de una ocasión el no saber responderlas nos hace sentirnos inútiles. Intentaré provocar conciencia diciéndoles: algo nos toca hacer a nosotros, y cuando digo nosotros en verdad estoy incluyendo a todos, y este quehacer, por supuesto, tiene que ver con la matemática. Un reto pendiente en México es desarrollar el pensamiento matemático de la población y eso exige la enseñanza en escuelas, pero también la implementación de nuevas prácticas, de manera que me voy a ubicar en esa zona, la de la reconstrucción, en donde cada uno tendrá algo por hacer.
Hablaré de algo muy concreto: el desarrollo del pensamiento matemático en este país. Me tocó dirigir el proceso de reforma curricular mexicana para el bachillerato, aún vigente en la Secretaria de Educación Pública, y que se aplica en todos los bachilleratos del país, es decir, representa un cambio muy grande a nivel nacional que implica a la población.
Me voy a ubicar en el terreno de la reconstrucción, en donde nosotros podemos ayudar a desarrollar el pensamiento matemático de una población y, por otro lado, en el momento de cambio que vive el país, que es muy bueno, desde ahí estoy mirando las cosas.
El título que pensé para esta charla alude justo a eso: el papel y la importancia del pensamiento matemático en el conocimiento y la cultura de los pueblos y las personas, no sólo el conocimiento matemático de los matemáticos, sino de la sociedad.
Primero daré algunos datos sobre el contexto educativo mexicano: el primer dato relevante es que, si tomamos los resultados del Programa para la Evaluación Internacional de Alumnos de la OCDE (PISA por sus siglas en inglés), el valor de la función que describe los resultados mexicanos es pequeño, o sea, la F es pequeña, pero su derivada es grande; tan es así que México está entre los cinco países del mundo que más han mejorado en PISA. Claro, estábamos muy abajo, pero la pendiente es positiva, grande, y eso es muy bueno porque eso quiere decir que algo están haciendo bien los profesores de todo el país, pues estamos mejorado, no todo es tragedia. Lo mismo ocurre en cuestión de lectura. En matemáticas y en lectura hay un ascenso, en matemáticas es muy fuerte y en ciencias se ha mantenido. El único país