Electrónica de potencia. Robert Piqué López

Circuitos de segundo orden

       Carga del circuito RLC,

      Sea el circuito serie RLC de la figura 2.41.a, que se supondrá totalmente descargado en el instante t = 0 en que se cierra el interruptor S1 al mismo tiempo que se abre el interruptor S₂. Se inicia la carga del condensador C.

       Figura 2.41. Circuito de primer orden RLC. Carga

      Para t > 0, en que el interruptor S1 está cerrado y S2 abierto, aplicando la ley de Kirchhoff de tensiones a la malla resultante, se puede escribir:

      La solución de la ecuación 2.72 es:

      siendo A1 y A2 constantes de integración y rl y r₂ las raíces de la ecuación

      Se pueden presentar tres casos:

      a) Si , las raíces son reales y diferentes y la solución es una onda aperiódica unidireccional

      b) Si , la raíz es doble y la solución es una onda aperiódica unidireccional.

      c) Si , las raíces son complejas y la solución es una onda periódica bidireccional amortiguada

      a)En el caso de raíces reales diferentes la solución es:

      siendo

      Las tensiones en los componentes son:

      En la figura 2.41.b se muestra la evolución de la corriente en el inductory la tensión en el condensador.

      b)En el caso de raíz real doble la solución es:

      siendo . Se trata de un caso de difícil existencia física, de comportamiento análogo al caso a) con raíces que fueran muy parecidas.

      c)En el caso de raíces complejas, la solución es:

      siendo

      Las tensiones en los componentes son:

      En la figura 2.41.c se muestra la evolución de la corriente en el inductor y la tensión en el condensador.

       Descarga del circuito RLC

      Sea el circuito serie RLC de la figura 2.42.a, del que se supondrá que el condensador está totalmente cargado a la tensión U. En el instante t = 0 se abre el interruptor S₁ al mismo tiempo que se cierra el interruptor S₂ Se inicia la descarga del condensador C.

       Figura 2.42. Circuito de primer orden RLC. Descarga.

      Para t > 0 en que el interruptor S₁ está abierto y S₂ cerrado, aplicando la ley de Kirchhoff de tensiones a la malla resultante, se puede escribir:

      Se observa que se trata de la misma ecuación diferencial que se obtuvo para el circuito de la figura 2.35.a (ecuación 2.72), con la única diferencia en la condición inicial del condensador que, en este caso, está cargado a la tensión U.

      La corriente que se establecerá será igual a la que se estableció en el circuito de la figura 2.41.a, pero en este caso circula en sentido inverso. Las dos corrientes únicamente difieren en el signo. En el circuito de la figura 2.41.a se produjo la carga del condensador de cero a U mientras que en este caso se producirá la descarga de U a cero.

      Les tensiones en la resistencia y en la inductancia también son las mismas con la única diferencia en el signo y únicamente la tensión en el condensador es diferente. En efecto, en este caso resulta:

      En consecuencia, las diferentes expresiones resultan:

      En la figura 2.42.b se muestra la evolución de la corriente en el inductor y la tensión en el condensador.

      En la figura 2.42.c se muestra la evolución de la corriente en el inductor y la tensión en el condensador.

      2.5. Series de Fourier. Transformada de Fourier

      2.5.1. Series de Fourier

      Sea f(t) una función periódica de período T1 (frecuencia f₁=1/T₁ y pulsación ω1 = 2πf₁, no sinusoidal. Se denomina transformación integral de Fourier

      A partir de (2.85) se deriva que la función periódica f(t) se puede descomponer en una suma de infinitos términos sinusoidales de frecuencias múltiplos de f₁ y de amplitudes dadas por el módulo de F₁ = jω_n de acuerdo con la siguiente expresión (expansión en serie de Fourier de ft)):

      expresión que de acuerdo con las identidades de Euler

      se puede desarrollar como

      con ω₁ = 2πT₁ ysiendo a0, an y bn los llamados coeficientes de Fourier que se calculan de la siguiente forma: