Die Thiessen-Polygon- Methode hat auch den Namen «Nächster Nachbar», da prinzipiell jedem Punkt des Gebiets der Niederschlagswert der nächstgelegener Station zugewiesen wird.
Thiessen-Polygon-Methode
Bei dieser Methode wird jeder Niederschlagsstation geometrisch eine Einflussfläche, ein Thiessen-Polygon, zugewiesen (→ Abb. 4-10). Für die Konstruktion dieser Polygone werden zuerst alle benachbarten Stationen miteinander verbunden, sodass ein Dreiecksnetz entsteht. Anschließend werden die Mittelsenkrechten der Verbindungslinien benachbarter Messstationen gebildet. Die Schnittpunkte dieser Mittelsenkrechten bilden die Eckpunkte des Polygons, durch das die jeweils betrachtete Niederschlagsstation umschlossen wird.
Unter der Annahme, dass der Niederschlagswert an der Station i einheitlich dem gesamten Polygon als flächenkonstant zugewiesen werden kann, lässt sich der Gebietsniederschlag NGeb als flächengewichtetes Mittel über alle Niederschläge Ni an allen betrachteten Messstationen i = 1, …, n bestimmen:
Abb. 4-10 | Konstruktion von Thiessen-Polygonen; durchgezogene Linien = Verbindungslinien zwischen den Niederschlagsstationen; gestrichelte Linien = Mittelsenkrechten; Strichpunktlinien = Einzugsgebietsgrenzen.
Die Gewichte wi werden aus den Flächenanteilen Ai der einzelnen Polygone an der Gesamtgebietsfläche gebildet:
Die Summe der Gewichte muss 1 ergeben. Diskretisiert man das Gebiet in ein regelmäßiges Raster, lässt sich die Methode sehr einfach rechentechnisch umsetzten. Nachteil dieses Ansatzes sind die teils großflächig konstanten Niederschläge mit unnatürlichen Sprüngen an den Polygongrenzen. Vorteil ist jedoch die Bewahrung der beobachteten Varianz und damit der Extremwerte des Niederschlags, da mit diesem Vorgehen keine Glättung erfolgt.
Inverse-Distanz-Verfahren
Im Inverse-Distanz-Verfahren wird ein orthogonales Raster über die Gebietsfläche gelegt (→ Abb. 4-11) und anschließend für jeden Rasterpunkt ein Niederschlagswert aus den umliegenden Stationen ermittelt. Am häufigsten findet hierbei die Quadrantenmethode Anwendung. Dabei werden nacheinander für jeden Rasterpunkt innerhalb des Gebiets Koordinatengrundlinien mit einer Nord-Süd- und Ost-West- Orientierung eingetragen – so, als ob man ein Fadenkreuz über einen Zielpunkt legt.
Abb. 4-11 | Inverse-Distanz-Verfahren: Orthogonales Raster über der Bezugsfläche (links), Quadrantendarstellung für einen Rasterpunkt (rechts).
Jetzt wird die Niederschlagshöhe Nj des Rasterpunkts j aus dem gewichteten Mittel der Messwerte an den vier Niederschlagsstationen Ni berechnet, die dem Bezugspunkt in jedem der vier Quadranten jeweils am nächsten liegen:
Die Gewichtung der Niederschlagsstationen wi,j erfolgt dabei mit dem Reziproken der quadrierten Abstände di,j der Station i zum Rasterpunkt j, wodurch nahe Stationen überproportional großes Gewicht erhalten:
Schließlich kann der Gebietsniederschlag NGeb über das arithmetische Mittel aller Rasterpunkt-Niederschlagswerte Nj im Gebiet j = 1 ,…, nR berechnet werden:
Die Methode ist ebenfalls rechentechnisch einfach umsetzbar. Es ergibt sich eine räumlich geglättete Niederschlagsverteilung, wodurch sich die Varianz des Niederschlags im Vergleich zu den Beobachtungswerten verringert.
Geostatistische Verfahren
Geostatistische Interpolationsverfahren basieren auf der Theorie der Zufallsfunktion (vgl. z.B. Goovaerts 1997). Die Interpolation für einen unbekannten Punkt erfolgt, wie in den deterministischen Verfahren, als gewichtete Summe der umliegenden bekannten Punkte. Der Unterschied besteht in der Bestimmung der Gewichte, in der die Erhaltungsneigung der zu interpolierenden Variablen im Raum berücksichtigt wird. Diese wird im Allgemeinen durch ein Variogramm beschrieben. Mittels Geostatistik kann neben der interpolierten Variablen auch der Schätzfehler der Interpolation ermittelt werden. Dieser ist z.B. für die Abschätzung von Unsicherheiten in hydrologischen Anwendungen wichtig.
Es gibt viele unterschiedliche geostatistische Methoden. Basisverfahren ist das Ordinary Kriging, welches einen konstanten Erwartungswert der Zielvariablen im Raum voraussetzt und in das keine Zusatzinformationen eingehen. Es liefert eine erwartungstreue, aber häufig stark geglättete Schätzung. Mit fortgeschrittenen Verfahren, wie z.B. dem External Drift Kriging, lassen sich einzelne oder mehrere Zusatzinformationen wie die geodätische Höhe, klimatologische Mittelwerte oder der Radarniederschlag berücksichtigen. Es werden detaillierte Strukturen besser abgebildet, auch die Varianz des Niederschlags wird dadurch besser bewahrt (→ Abb. 4-12).
Abb. 4-12 | Räumliche Niederschlagsverteilung in mm/h für den 12.08.2002 von 6-7 Uhr über den Einzugsgebieten von Oberer Elbe, Mulde und Weißer Elster; Zusatzinformationen im External Drift Kriging sind Radar, geodätische Höhe und Niederschlagssumme des Ereignisses.
4.4 | Bemessungsniederschlag
Allgemeines
Kenntnisse über Starkniederschlagsereignisse werden in der Hydrologie für die Planung wasserwirtschaftlicher und anderer Maßnahmen benötigt. Als Bemessungsniederschlag im engeren Sinne bezeichnet man einen Starkniederschlag definierter Höhe, Dauer und Wahrscheinlichkeit (bzw. Wiederkehrintervall), der für die Dimensionierung von Bauwerken benutzt werden kann. Er wird dann mithilfe von hydrologischen und/oder hydraulischen Modellen (→ Kap. 15) in die benötigte Zielgröße, wie z.B. Abfluss, Wasserstand oder Abflussvolumen transformiert, bevor eine Bemessung, z.B. die Ermittlung des Volumens von Speichern, die Bestimmung der Höhe von Deichen oder die Festlegung des Querschnitts von Kanälen in der Siedlungswasserwirtschaft, erfolgen kann. Im weiteren Sinne können neben solchen Einzelwerten auch kontinuierlich beobachtete oder synthetische Niederschlagsreihen für die Bemessung verwendet werden (Haberlandt et al. 2011).
Statistische Analyse von Starkregen
Starkniederschläge werden durch ihre Niederschlagshöhe Nj und -dauer ND charakterisiert. Aus diesem Grund ist eine quasi zweidimensionale Extremwertstatistik mit den Zufallsvariablen Menge und Dauer erforderlich. Zur Vereinfachung wird die Statistik unter Vorgabe der Dauer für die Variable «Menge» durchgeführt. Man führt in diesem Fall eine extremwertstatistische Analyse für Niederschlagshöhen vorgegebener Dauerstufen von 5 min bis zu 72 Stunden durch und ermittelt dann die statistischen Verteilungsfunktionen bzw. die Über- oder Unterschreitungswahrscheinlichkeiten:
1.Zuerst werden die quasikontinuierlichen Niederschlagsaufzeichnungen genutzt, um Stichproben von Extremniederschlagsereignissen vorgegebener Dauer zu bilden. Dafür wird für jede Dauerklasse (z.B. 5 min, 15 min, 30 min, 1 h etc.) in einer Messreihe von Niederschlagswerten mit möglichst hoher zeitlicher Auflösung das Ereignis mit der jeweils größten Teilsumme über diese Dauer pro Jahr ermittelt («jährliche Serie»). Alternativ kann man für die sogenannte «Schwellenwertstatistik» alle Ereignisse mit einer Niederschlagssumme, die für die betrachtete Dauerstufe über einem Schwellenwert liegt, auswählen («partielle Serie»).
2.Für die ausgewählten Niederschlagswerte der