Fundamentos de matemática. Juan Egoavil Vera

Potenciación

      Si a es un número real y n es un número natural, entonces decimos que aⁿ se obtiene multiplicando n veces el factor a, es decir:

       Ejemplo:

      a⁶ = a. a. a. a. a. a. a

      Decimos entonces que aⁿ es una potencia que tiene a como base y n como exponente. Extendemos la definición para exponentes enteros definiendo, para a ≠ 0;

       Actividad 1.4:

      Indique si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos:

      a. 2⁸ = 2². 2⁶ = 2⁵. 2³

      ( )

      b. (8+3)² = 8² + 3²

      ( )

      c. (8.3)² = 8² + 3²

      ( )

      d. (2³)² = 3⁵

      ( )

      e. (2³)² = 2⁶

      ( )

      f. – 3² = (–3)⁶

      ( )

      g. 5⁴ = 4⁵

      ( )

      h.

      ( )

      i. 5^–2 = –10

      ( )

      La actividad anterior ejemplifica algunas de las siguientes propiedades de la potencia: Sean a, b números reales distintos de 0 y sean m, n números enteros.

Propiedades de la Potencia
Distributiva con respecto al producto	(a · b)^m = a^m · b^m
Distributiva con respecto a la división
Producto de potencias de igual base	a^n a^m = a^n + m
División de potencias de igual base
Potencia de potencia	(a^n)^m = a^n.m

       Observación:

      Como se apreció en el ejercicio anterior, la potencia no es distributiva con respecto a la suma ni a la resta.

      • ¿Qué sucede si a un número negativo lo elevamos a una potencia par? ¿Cuál es el signo del resultado?

      • ¿Existe alguna potencia de 5 que dé como resultado un número negativo? ¿Por qué?

       Radicación

      Para los enteros positivos n, ya se ha definido la n-ésima potencia de b, a saber, bⁿ. Ahora, vamos a utilizar la ecuación a = bⁿ para definir la n–ésima raíz de a.

      En general, la raíz cuadrada de a se define como sigue. A veces recibe el nombre de raíz cuadrada principal de a

      Si a es un número real positivo, si y solo si a = b² y b > 0

      Además,

       Ejemplo:

       Actividad 1.5:

      Calcule el valor de cada una de las expresiones que siguen, en caso de estar definidas:

      a.

      b.

      c.

      En el caso de las raíces cúbicas se puede utilizar tanto números positivos como negativos, así como el cero. Por ejemplo:

      2³ = 8 y (–5)³ = –125

      Se puede decir entonces que:

      Si a y b son números reales cualesquiera, si y solo si a = b³

       Ejemplos:

      Se puede ver que existe una diferencia básica entre las raíces cuadradas y las raíces cúbicas. Las raíces cuadradas están definidas solo para los números reales positivos y el cero. Las raíces cúbicas están definidas para cualquier número real.

       Observaciones:

      • recibe el nombre de n-ésima raíz principal de a para indicar que se define positivo si a > 0.

      • El número a es el radicando, es el signo radical, n es el índice del radical y es la expresión radical o raíz n–ésima de a–

      Veamos ahora las propiedades de la radicación, las cuales son análogas a las de la potenciación.

      Sean a, b números reales positivos y n, m números naturales:

Propiedades de la Radicación
Distributiva con respecto al producto
Distributiva con respecto a la división
Raíz de raíz

       Actividad 1.6:

      • Al igual que con la potenciación, la radicación no es distributiva con respecto a la suma ni a la resta. Proponga ejemplos que muestren que la propiedad distributiva no se cumple.

      • ¿Qué sucede al aplicar la propiedad distributiva al siguiente radical: Скачать книгу