Во всех рассмотренных объектах науки наличие неоднозначных факторов, являющихся исходными аргументами, сложность и многообразие причин, вызывающих то или иное явление, обусловливают необходимость использования в доказательстве недостаточно обоснованных посылок, что приводит к снижению достоверности выводов, наличию в них неопределенных факторов W, которые в простейших случаях относят к случайным.
В математике, где главным и определяющим фактором достоверности выступает человеческий фактор [24], так же, как и в других науках, возникают неопределенности, ошибки, которые приводят к ложным выводам. В математической энциклопедии дано следующее определение доказательства: «Доказательство – рассуждение по определенным правилам, обосновывающее какое-либо предположение (утверждение, теорему); основанием доказательства служат исходные утверждения (аксиомы)… Всякое доказательство относительно, поскольку базируется на некоторых недоказуемых положениях».
В математике, для которой характерен аксиоматический метод исследования, средства доказательства достаточно четко определились на раннем этапе ее развития. При этом используется последовательное выведение одних суждений из других, причем способы выведения допускают точный анализ. Отметим, что начало дедуктивного метода доказательства в элементарной геометрии, силлогистике было заложено Аристотелем.
Предположим, что при исследовании некоторых свойств абстрактного объекта создана система понятий и аксиом. При этом возможны следующие ситуации: оцениваются одна теория, ее непротиворечивость и достоверность; оцениваются две теории по одному суждению. При этом необходимо выяснить непротиворечивость данной системы понятий и аксиом для того, чтобы гарантировать истинность доказанных в ней ситуаций.
Непротиворечивость – достаточно сложная проблема. Так, Гёдель доказал, что утверждение о непротиворечивости данной формальной системы в рамках самой системы недоказуемо, если она непротиворечива. Гильберт писал: «Подумайте: в математике, этом образце достоверности и истинности, образование понятий и ход умозаключений… приводят к нелепостям. Где же искать надежность и истинность, если даже само математическое мышление дает осечку?». В продолжение этого: «Развитие теории познания показало, что никакая форма умозаключения не может дать абсолютно достоверного знания» [2].
Иногда доказанное суждение представляет собой относительную истину, т. е. включает в себя не только достоверные, но и недостоверные знания. Так, например, применимость данной логики к одному кругу объектов из области G еще не означает возможность применимости ее в более широкой области G1: G
