Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним. Дэвид Дарлинг

у математиков работа с четырехмерными объектами и пространствами не вызывает никаких затруднений – для того чтобы описать их свойства, математикам вовсе нет необходимости представлять, как те выглядят. Эти свойства можно рассчитать с помощью алгебры и математического анализа, не прибегая ни к каким многомерным умственным ухищрениям. Возьмем, к примеру, окружность. Окружность – это кривая, состоящая из всех точек на плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии (называемом радиусом) от заданной точки (центра). Как и у прямой линии, у окружности нет ни ширины, ни высоты – только длина, а потому окружность одномерна. Представьте, что вы находитесь на линии и ограничены ее пределами. Вы сможете передвигаться только вдоль этой линии, либо в одну сторону, либо в противоположную. То же и с окружностью. Хоть она и существует в пространстве, имеющем как минимум два измерения, но, если вы расположены на ней и ею же ограничены, свободы перемещения у вас не больше, чем на прямой: только туда и обратно по окружности, то есть фактически – одно измерение.

      Нематематики иногда путают окружность с кругом. Но для математика круг – это совсем другой объект, включающий в себя и то, что находится в пределах окружности. Окружность – это одномерная фигура, которую можно “вложить” в двумерный объект, плоскость (упрощенно это можно изобразить, нарисовав окружность тонким карандашом на листе бумаги). Длина окружности равна 2πr, где r – ее радиус; а площадь поверхности, ограниченной окружностью, вычисляется по формуле πr². Перейдя на одно измерение выше, получаем сферу, состоящую из всех точек, лежащих на одинаковом расстоянии от заданной, но уже в трехмерном пространстве. И опять-таки человек, далекий от математики, может спутать сферу (двумерную поверхность) с шаром, который включает в себя еще и все точки, находящиеся внутри этой поверхности. Для математика же это совершенно разные вещи. Сфера – двумерный объект, который может быть вложен в трехмерное пространство. Площадь ее поверхности равна 4πr², а ограниченный ею объем – 4/3 πr³. По аналогии с обычной, двумерной, сферой математики, обобщая, называют окружность одномерной сферой, а сферы более высоких измерений именуют “гиперсферами”, указывая их размерность. Простейшая (трехмерная) гиперсфера – это трехмерный объект, вложенный в четырехмерное пространство. Вообразить себе, как она выглядит, мы не способны, но понять, что она из себя представляет, благодаря аналогии можем. Точно так же как окружность – это кривая линия, а обычная, двумерная, сфера – искривленная поверхность, трехмерная гиперсфера – это искривленный объем. С помощью несложного математического расчета можно доказать, что этот искривленный объем описывается формулой 2π²r³. Это эквивалент площади поверхности обычной сферы, только применительно к сфере трехмерной. Эту величину также называют трехмерной гиперплощадью, или площадью поверхности трехмерной гиперсферы. Внутри трехмерной гиперсферы заключено четырехмерное пространство,