9.Capitalización y descuento continuos (contenido avanzado)
En la celda C20 hemos computado el límite de la TEA cuando el número de períodos de capitalización se torna muy elevado. Este límite se llama capitalización continua. Para n períodos de capitalización por año:
Cuando el número de períodos de capitalización n se torna demasiado alto, la TEA sea aproxima a er-1. El número e = 2,7182818285904 es la base de logaritmos naturales y está incluida en la función Exp( ) de Excel. En la jerga de finanzas, erT se denomina valor futuro con capitalización continua después de T años a la tasa de interés anual r.
En la hoja de abajo usted podrá ver la diferencia entre el valor futuro con capitalización discreta y valor futuro con capitalización continua.
Cuando el número de períodos de capitalización se vuelve muy elevado, la diferencia entre el interés con capitalización discreta y continua se torna muy reducido.
9.1.El factor de capitalización continua
En el capítulo 2 vimos que el valor futuro y valor presente están estrechamente relacionados:
La siguiente hoja sintetiza estas relaciones:
9.2.Un ejemplo real de tarjeta de crédito
El interés con capitalización continua puede parecer un concepto etéreo —altamente teórico— pero es muy útil. El ejemplo de esta subsección muestra cuán ventajoso puede ser el interés con capitalización continua. La tarjeta de crédito de la Universidad del Estado de Columbia de la imagen siguiente carga un interés penal anual (TNA) del 27,99 %[11]. El paréntesis del aviso deja en claro que la empresa realmente carga un 0,07669 % por día sobre los saldos pendientes. Esta tasa se calcula tomando el 27,99 % y dividiéndolo por el número de días por año:
| Tasa de Interés anual (TNA) para compras | 10,99 % (0,03011 %) Tasa de Interés Diaria (TID) |
| Otras tasas anuales | TNA para adelantos en efectivo: 14,99 % (0,04107 % TID)Tasa Penal: 27,99 % (0,07669 TID) |
Si usted mantiene un saldo de $100 a lo largo del año, usted adeudará 100 * (1,007668)365 a fin de año[12]. Como la hoja demuestra, ello se traduce en 32,286 % TEA (celda B5).
Como usted puede ver en la celda B6, esencialmente el mismo interés puede ser calculado usando capitalización continua. Desde un punto de vista de cálculo, capitalizar en forma continua es más simple que capitalizar en forma discreta una tasa diaria de interés.
Capitalización continua en este libro
Raramente utilizamos capitalización continua en este libro. Utilizamos capitalización discreta, pero ocasionalmente puntualizamos mediante nota al pie, cómo sería el cálculo con capitalización continua de una expresión discreta.
9.3.Retornos con capitalización continua
En subsecciones pasadas hemos medido capitalización discreta versus continua. En esta sección, mostramos cómo medir tasas de retorno discretas versus continuas. Suponga que una inversión crezca desde X en el momento 0 a Y en el momento T. Entonces, la tasa de retorno anual capitalizada en forma discreta sobre la inversión es:
La tasa de retorno anual con capitalización continua está dada por:
En el ejemplo de abajo, una inversión de $100 crece a $200 en un período de 4 años[13]. La hoja calcula tanto los retornos con capitalización discreta como continua.
La tasa de retorno con capitalización discreta (celda B6) es 18,92 %; esto se prueba en la celda B10, en que mostramos que 200=100*(1+18,92%)4. En otras palabras, a lo largo de los 4 años el valor futuro de $100 con capitalización discreta al 18,92 % es $200.
La tasa de retorno con capitalización continua (celda B7) es 17,33 %; esto se prueba en la celda B11, en que mostramos que 200=100*exp(17,22%*4). A lo largo de los 4 años el valor futuro de $100 con capitalización discreta al 17,32 % es $200.
Observe que para usted será indiferente elegir un retorno anual de 18,92 % con capitalización discreta que un 17,32 % con capitalización continua. Sobre un plazo de tiempo determinado, ¡ambas tasas hacen que una inversión inicial crezca hasta el mismo resultado final!
10.Resumen
En este capítulo hemos aplicado el valor del dinero en el tiempo (VA, VAN, y TIR) a un número de problemas relevantes:
1 Estos cargos son comunes en muchos tipos de préstamos bancarios, especialmente hipotecarios. Son obviamente una manera de incrementar el costo del préstamo y confundir al cliente.