Przekład: Łukasz Musiał
Opieka redakcyjna: Katarzyna Nawrocka
Redakcja merytoryczna: dr Tomasz Zamek-Gliszczyński, prof. Tadeusz Stanisz
Redakcja: Anna Taraska
Projekt okładki i stron tytułowych: Norbert Młyńczak
Ilustracje: Chloé Bouchaour
Copyright © Editions Flammarion, Paris, 2019
Copyright for the Polish edition and translation
© JK Wydawnictwo sp. z o.o. sp. k., 2020
Wstęp
W 1980 roku pedagodzy z Instytutu Metodyki Nauczania Matematyki w Grenoble zadają grupie dzieci następującą zagadkę:
Na statku jest 26 owiec i 10 kóz. Ile lat ma kapitan?
Pytanie jest dziwne. Co ma wiek kapitana do liczby owiec i kóz? A jednak 75 % spośród niemal dwustu siedmio- i ośmiolatków jest pewna swojej odpowiedzi. Spora część dodaje obie liczby, uzyskując wynik 36. Ale gdy ten sam test rozwiązują dzieci w wieku od dziewięciu do dziesięciu lat, większość wyraża wątpliwości albo wręcz odmawia udzielenia odpowiedzi. Chętnie odpowiada jedynie 20 %. W ciągu dwóch lat u dzieci rozwinęło się myślenie krytyczne. Zrobiły się bardziej przenikliwe i nauczyły się podchodzić z dystansem do sensowności wykonywanych zadań.
Muszę przyznać, że gdy byłem w ich wieku, łamigłówki dostarczały mi niemałej frajdy. Mam tu na myśli podchwytliwe zagadki gimnastykujące mózg, w gruncie rzeczy bardziej żarty niż problemy matematyczne. Jedna z moich ulubionych brzmi tak:
Orkiestra złożona z 50 muzyków gra IX symfonię Beethovena przez 70 minut. W jakim czasie tę samą symfonię zagra orkiestra złożona ze 100 muzyków?
Czas wykonania symfonii nie zależy oczywiście od liczby muzyków, więc 70 minut pozostaje 70 minutami. Bardzo podobała mi się także ta: Co jest cięższe, kilogram puchu czy kilogram żelaza? Ani jedno, ani drugie. Rzecz jasna, ważą przecież tyle samo: kilogram.
Okazało się, że proces oswajania sensu zaprowadził mnie dalej, niż mogłem wówczas przypuszczać. Im więcej się dowiadywałem, tym więcej odkrywałem niuansów w znaczeniach słów oraz luk w moim pojmowaniu świata. Fakt, dorośli nie wpadają w te same sidła co dzieci. Jednak nieroztropnie byłoby zakładać, że jesteśmy zabezpieczeni przed wszelkimi pułapkami. Intuicja może nas zmylić, a nasze przekonania bywają błędne. W wieku 35 lat mogę chyba powiedzieć, że począwszy od pierwszej klasy podstawówki, nie było takiego roku, w którym nie stwierdziłbym, że mylnie postrzegam, zdawałoby się, doskonale znane mi rzeczy.
Jeśli chcemy zrozumieć świat, zaintrygowani otaczającą rzeczywistością, musimy wyjść ze swojej strefy komfortu. Z grubsza rzecz ujmując, dawni wielcy uczeni zachowywali się jak dzieci odmawiające podania wieku kapitana. Wątpili w to, co mieli przed oczami, i starali się sięgnąć wzrokiem dalej. Zbuntowali się przeciwko ustalonemu porządkowi. Nauka to wymarzony azyl dla kontestatorów, a matematyka jest jednym z ich najpotężniejszych narzędzi.
Uprawianie matematyki umożliwia wejście za kulisy rzeczywistości. Pozwala wśliznąć się na sceniczne zaplecze, by tam przyglądać się potężnym kołom zębatym napędzającym machinę wszechświata. Spektakl jest olśniewający, ale przyprawia o zawrót głowy. Rzeczywistość stanowi bowiem wyzwanie dla naszych zmysłów i intuicji. Nie jest tym, czym się wydaje. Wywraca do góry nogami nasze przyjęte a priori założenia i depcze to, w co głęboko wierzyliśmy. Nic nieznaczące szczegóły mogą kryć w sobie wielkie sekrety, a dziecięce łamigłówki bywają głębsze, niż można by sądzić.
Choćby taka:
Jeżeli cztery kury znoszą cztery jajka w cztery dni, to ile jajek zniesie osiem kur w osiem dni?
Pogłówkuj nad nią, jeszcze do tej kwestii wrócimy. Teraz mogę ci tylko zdradzić, że gdy odkryłem tę zagadkę w wieku dziesięciu lat, nie przypuszczałem, że pewnego dnia pomoże mi ona zrozumieć najsłynniejsze twierdzenie świata.
Zatem jeśli masz ochotę przez chwilę mi potowarzyszyć, zapraszam w podróż. Całkiem możliwe, że podczas naszej eskapady wystąpi kilka trudnych momentów – w końcu nie zmienia się swojego sposobu myślenia ot, tak. Pewnie pojawią się wątpliwości, które trzeba będzie przezwyciężyć, i idee, którym trzeba będzie pozwolić dojrzeć. Ale nie poddawaj się, przyjemność zrozumienia tysiąckrotnie wynagrodzi ci podjęty trud. Za tą kartką zaczyna się nasza matematyczna wyprawa ku najpiękniejszym zakulisowym mechanizmom świata. Podnieś na chwilę wzrok i przyjrzyj się otaczającej cię scenerii: może się zdarzyć, że po powrocie z wycieczki zobaczysz wszechświat – swój wszechświat – nieco inaczej.
Część I
Prawo supermarketów
Prawo Benforda
Bywa, że podróże matematyczne rozpoczynają się w całkiem prozaicznych miejscach. Proponuję, abyśmy zajrzeli najpierw do najbliższego sklepu. Na pewno znajdzie się jakiś w twojej okolicy. Choćby ten, w którym zazwyczaj robisz zakupy. Nie ma znaczenia, czy jest to gigantyczne centrum handlowe, czy osiedlowe delikatesy, wystarczy, że będą w nim podstawowe produkty, takie, których potrzebujemy na co dzień.
Miejsce jak miejsce. Byłeś w tym sklepie już setki, może tysiące razy. Równoległe alejki, metalowe regały, regularne piknięcia skanowanych w kasie kodów kreskowych i snujący się klienci, którzy machinalnie chwytają butelkę mleka lub konserwę. Ale my dzisiaj nie robimy zakupów. Przeprowadzamy misję obserwacyjną.
Właśnie w sklepie kryje się bowiem jedna z najbardziej intrygujących ciekawostek matematycznych. Przez wszystkie te lata była tu, przed twoimi oczami. Nikt jej nie ukrył, widzisz ją – właśnie teraz. Niepozorną anomalię. Jeden z tych nic nieznaczących, umykających uwadze szczegółów, które jednak powinny wzbudzić podejrzliwość czujnych obserwatorów. Wyjmij notes lub otwórz notatnik w smartfonie i zacznijmy nasze dochodzenie.
Przyjrzyj się cenom widniejącym na etykietach umieszczonych wzdłuż sklepowych półek. 2,30 zł… 1,08 zł… 12,49 zł… 3,53 zł… Liczby te wydają się zupełnie przypadkowe. 1,81 zł… 22,90 zł… 0,64 zł… Zakres cen rozciąga się od kilku groszy po kilkadziesiąt złotych. Ale nie będziemy skupiać się na detalach. Zapomnij o przecinkach i całej drobnicy. Przy każdej cenie weź pod uwagę wyłącznie pierwszą, najważniejszą cyfrę, tę, która pozwala oszacować przybliżoną wartość artykułu.
Tu 530-gramowa puszka czerwonej fasoli za 1,54 zł. W notesie zapisujesz 1. Nieco dalej dezodorant „24h” za 3,53 zł. Notujesz 3. Serek topiony za 1,81 zł. Znów zapisujesz 1. Patelnia z powłoką nieprzywierającą za 45,90 zł, tym razem wykroczyliśmy poza rząd jednostek, ale to bez znaczenia, skupiamy się wyłącznie na pierwszej cyfrze. Notujesz 4. Opakowanie prażonych orzeszków ziemnych za 0,74 zł. Tutaj pierwszą znaczącą cyfrą jest 7.
Krążymy tak przez kilka minut, a cyfr przybywa. 1 3 1 4 7 9 2 2 1 7 9 8 1 1 3 1 1 1 8 1 1 2 1 2 1 1 9 1 4 7 1 6 1 5 9 2 2 1 3 2 2 2 1 2 2 6… Jednak im bardziej w to brniemy, tym większe ogarnia nas zwątpienie. Nie uważasz, że w tym korowodzie cyfr jest coś nie tak? Panuje w nim pewna nierównowaga. Ciąg składa się głównie z 1 i 2 poprzetykanych gdzieniegdzie 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9. Czyżbyśmy nieświadomie kierowali naszą uwagę ku najniższym cenom? Mamy problem.
Zachowajmy się zatem jak odpowiedzialni statystycy. Żeby uniknąć subiektywnych, błędnych wniosków, postawmy na bardziej systematyczną metodę. Wybierzmy losowo kilka działów i w każdym z nich spiszmy ceny wszystkich produktów bez wyjątku. Sporo roboty, ale musimy mieć czyste sumienie.
Godzinę później kilka stron naszego notesu pokrywają cyfry. Czas zrobić bilans. Po podliczeniu werdykt brzmi jednoznacznie: zaobserwowana tendencja to fakt. Spisałeś ceny ponad tysiąca produktów i jedna trzecia z nich zaczyna się od 1! Więcej niż jedna czwarta zaczyna się od 2, a im cyfra wyższa, tym rzadziej występuje.
Po zebraniu danych otrzymujemy następujący rozkład[1]:
Tym