ЧУДЕСА АРИФМЕТИКИ ОТ ПЬЕРА СИМОНА ДЕ ФЕРМА. Юрий Вениаминович Красков

рациональных числах. Отсюда следует, что практическая ценность метода Диофанта ничтожна, поскольку с точки зрения арифметики дробные квадраты – это бессмыслица типа, скажем, треугольных прямоугольников или чего-то в этом роде. Очевидно, что эта задача должна решаться только в целых числах, но у Диофанта такое решение отсутствует и, естественно, Ферма стремится сам решить эту задачу, тем более что вначале ему она видится совсем не сложной.

      Итак, пусть в уравнении a²+b²=c² дано число c и нужно найти числа a и b. Проще всего найти решение, разложив число c на простые множители:

      c=pp₁p₂…p_k; тогда

      c²=p²p₁²p₂²…p_k²=p²(p₁p₂…p_k)²=p_i²N²

      Теперь становится очевидно, что число c² раскладывается на a²+b² только в том случае, если хотя бы одно из чисел p_i² также раскладывается на сумму двух квадратов⁵⁰. Так ведь это же замкнутый круг, поскольку нужно опять число в квадрате разложить на сумму двух квадратов. Но ситуация уже совсем иная, т.к. теперь-то нужно раскладывать простое число в квадрате и это обстоятельство становится основой для решения поставленной задачи.

      Если решение возможно, то должны существовать такие простые числа, которые раскладываются на сумму двух квадратов и только в этом случае в соответствии с тождеством пифагорейцев можно получить:

      p_i² = (x²+y²)² = (x²−y²)² + (2xy)²

      т.е. квадрат такого простого числа будет также суммой двух квадратов. Отсюда появляется поистине грандиозное научное открытие Ферма⁵¹:

      Все простые числа типа 4n+1 единственным образом раскладываются на сумму двух квадратов, т.е. уравнение p=4n+1=x²+y² имеет единственное решение в целых числах. А все остальные простые числа, относящиеся к типу 4n−1, не могут быть разложены таким же образом.

      В письме-завещании Ферма показано, как это может быть доказано методом спуска. Однако доказательство Ферма не сохранилось и эту задачу решил Эйлер, которому пришлось для этого в течение целых семи лет задействовать всю свою интеллектуальную мощь⁵². Теперь уже решение задачи Диофанта выглядит очевидным. Если среди простых множителей числа c нет ни одного относящегося к типу 4n+1, то и число c² не может быть разложено на сумму двух квадратов. А если хотя бы одно такое число p_i есть, то через тождество пифагорейцев можно получить:

      c²= N²p_i²= (Nx)²+(Ny)²

      где x= u²−v²; y=2uv; a=N(u²−v²); b=N2uv

      Решение получено, однако Ферма оно явно не устраивает, поскольку чтобы вычислить число N, нужно разложить число c на простые множители, а эта задача во все времена считалась едва ли не самой трудной из всех задач в арифметики⁵³. Затем нужно ещё вычислить числа x, y, т.е. решить задачу о разложении простого числа типа 4n+1 на сумму двух квадратов. Над решением этой задачи Ферма работал почти до конца своей жизни.

      Вполне естественно, что, когда есть желание упростить решение задачи