Фундаментальная радиохимия. Николай Дмитриевич Бетенеков

изотоп. Будем индексами "1" и "2" помечать параметры и переменные, относящиеся соответственно к "материнскому" и "дочернему" радионуклидам. При этих условиях эволюция "генетической пары" представляет собой вариант классической "бассейновой" задачи: "Прирост числа атомов дочернего радионуклида в единицу времени равен разности скоростей актов распада материнского и дочернего радионуклидов, поскольку скорость распада материнского радионуклида равна скорости возникновения дочернего":

      . (1.18)

      Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка можно решить, например, методом Лагранжа (метод вариации постоянной). В результате при наложении условия, что при t = 0 N₀₂ = 0 решение (1.18) будет иметь вид:

      (1.19)

      Графически эволюция "генетической пары" изображена на рис.1.1.

      Рис.1.1. Изменение активности при Т₁ >Т₂ (примем условно Т₁=10Т₂): 1 – суммарная активность; 2 – активность дочернего радионуклида; 3 – активность материнского радионуклида.

      Важной особенностью взаиморасположения графиков является совпадение точки максимума активности (числа атомов) дочернего радионуклида и точки пересечения графиков A₁(t) и A₂(t) (так же и временных зависимостей N₁ и N₂). В этом можно убедиться, решив соответствующие уравнения: dA₂/dt=0 и A₁=A₂ откуда момент времени (t_max), соответствующий этой точке, определяется следующим образом:

      . (1.20)

2. Подвижное равновесие

      Это состояние в эволюции "генетической пары" достигается только при условии λ₂ > λ₁. В случае λ₂< λ₁ равновесие в любом смысле слова отсутствует, но соотношение (1.20) остается справедливым. Обозначим λ₂ – λ₁ = Δ λ и преобразуем (1.11) следующим образом:

      . (1.21)

      По истечению некоторого времени вследствие монотонного убывания экспоненты можно сделать упрощение 1-е-Δ λt H1, приняв заранее определенный уровень погрешности. Но для абсолютного большинства практически интересных случаев можно условно допустить, что этот момент времени совпадает с t_max (см.(1.20)). После упомянутого упрощения соотношения (1.21) приобретают вид:

      , (1.22)

      т.е. отношение чисел атомов дочернего и материнского радионуклидов, равно как и значений их абсолютной активности, перестает зависеть от времени, inv (t), в то время как сами значения N₁ , N_2,, A₁ и A₂ продолжают явным образом зависеть от времени.

      Таким образом, для "генетической пары" необходимым и достаточным условием наступления подвижного равновесия является неравенство λ₂ > λ₁ (или, что то же самое, T₂ < T₁). Это равновесие наступает не раньше прохождения дочерней активности через максимум и заключается в том, что осуществляются соотношения (1.22). Таким образом, рис.1.1 отражает изменение активности для генетически связанной пары радионуклидов для случая подвижного равновесия.

3. "Вековое" равновесие

      Примем более жесткое условие неравенства: λ₂