Наконец третий вид, который Никомах считает средним между двумя противоположностями – нечетно-четные числа – это числа, половины которых делятся пополам, и даже у некоторых половины половин делятся надвое, а у некоторых это деление можно продолжить и далее. Однако, в отличие от четно-четных чисел, это деление невозможно продолжить до единицы. Его конечным итогом всегда будет какое-то нечетное число (напомним, что единицу пифагорейцы числом не считали, а потому не считали ее нечетной). Таковы, например, числа 24, 28, 36, 40, 44.
Далее Никомах описывает свойства каждого из трех видов, чем мы здесь заниматься уже не будем. Заметим, что такая классификация четных чисел для современной математики не очень интересна, тогда как пифагорейцы явно придают ей большое значение. Чем же она важна? Я думаю, что некоторую подсказку мы получим, если посмотрим, как определяет эти виды чисел Евклид.
Четно-четное число есть четным числом измеримое четное число раз.
Четно-нечетное число есть четным числом измеримое нечетное число раз.
Нечетно-четное число есть нечетным числом измеримое четное число раз (Евклид. Начала. VII. Опр. 8-10).
Получается, что речь здесь, как и при изучении геометрических фигур, идет об измеримости. На этот раз одно число оказывается мерой для других. Помимо того, что все числа измеримы единицей и, следовательно, соизмеримы, между числами определенного вида можно найти дополнительную соизмеримость, т. е. можно измерить их общей мерой, отличной от единицы. Измеримость же есть составленность целого из частей, более того, определенная организация частей, составляющих целое. У каждого из трех видов четных чисел эта организация разная.
Туже мысль можно увидеть и в классификации нечетных чисел. Здесь так же различаются три вида, причем так, что два из них противоположны, а третий – промежуточный. Числа первого из этих видов называются «первичными и несоставными», второго – вторичными и составными. Числа третьего вида Никомах определяет как «сами по себе вторичные и составные, но по отношению к другим – первичные и несоставные».
Первый из названных видов мы теперь называем простыми числами. Эти числа делятся лишь на себя и на единицу, т. е. измеримы лишь единицей.
Числа второго вида, противоположного первому, «могут быть измерены другим числом, помимо единицы»[47]. Это составные числа, т. е. нечетные числа, имеющие отличные от единицы делители. Таковы, например, 9,15, 25.
Что касается третьего вида, то его описание у Никомаха весьма неясно и содержит явные логические неувязки. Например, он относит число 9 и ко второму, и к третьему виду.
Мы не будем, чтобы не затягивать наш рассказ, излагать все основы пифагорейской арифметики. Заметим лишь, что выявляемые в ней свойства чисел всегда будут определяться одной и той же указанной только что мыслью: очередное установленное свойство числа