[54.] Tenemos idea de límite; porque como hemos visto ya, es una negacion aplicada á un ser. Tenemos además la idea de negacion de límite, porque así como le concebimos aplicado ó aplicable, podemos concebirle y le concebimos en efecto, no aplicado ó no aplicable. A cada paso negamos límites determinados: generalizando esta idea, resulta la negacion general de límite en general.
[55.] Con las observaciones que preceden podemos señalar lo que se contiene en la idea de lo infinito. En mi juicio esta idea es un concepto general que envuelve los dos siguientes: 1.º ser en general; 2.º negacion de límite, tambien en general. La reunion de estos dos conceptos constituye la idea abstracta de lo infinito.
[56.] El concepto de límite generalizado y negado, nos da alguna idea de la infinidad en abstracto, pero nó idea de una cosa infinita. Sin conocer intuitivamente un objeto infinito, y solo alcanzando á formarnos idea muy imperfecta de él, podemos hablar de la infinidad, sin caer en contradiccion, determinando los casos en que se halla aplicada á un ser, ó á un órden de seres, real ó posible. Si bien se observa, el hombre tiene muchas ideas de este género vago; pero que no obstante le sirven para cuanto necesita. Hagámoslo sensible con algunas aplicaciones.
[57.] Se le muestran á un ignorante algunos sabios, y se le asegura que uno entre ellos sabe mas que todos los otros juntos. El pobre ignorante no tiene ninguna idea de lo que sabe el que mas ni el que menos, ni del grado de la ciencia, ni de la ciencia misma, pero tiene en general las ideas de grado, de mas y de menos, así como la de conocimiento; pues bien, esto le basta para hablar sin contradecirse, ni confundirse, de la mayor ciencia del uno y de la menor ciencia de los otros, y aun para resolver con acierto las cuestiones que se le ofrezcan sobre la ciencia de aquellos individuos, en cuanto se hallan contenidas en la idea general de que la ciencia de uno es mayor que la de todos los otros juntos.
Otro ejemplo. Un dependiente de un establecimiento donde se hallen reunidos los mas bellos producto del arte, puede hablar de todos ellos sin confundirse ni contradecirse, aun cuando sea incapaz de conocer su mérito, é ignore absolutamente las circunstancias que constituyen la belleza de los objetos. Le bastará tener idea de perfeccion ó belleza en general, y vincular con ciertos signos arbitrarios los grados de perfeccion ó belleza de los objetos, para que pueda designarlos á los concurrentes, y ponderar la mayor habilidad de un artista, la menor felicidad de otro, el atinado acierto de aquel, los desaciertos de este, el mayor valor de las obras del primero, la inferioridad de las del segundo, y formar otros pensamientos por este tenor que á primera vista pudieran hacernos creer que el dependiente es un artista consumado, ó cuando menos un aficionado de grande inteligencia y de gusto exquisito.
[58.] Fácil seria manifestar con otros ejemplos la fecundidad de ciertas ideas generales, y cómo se prestan á innumerables combinaciones, sin que por ellas conciba el entendimiento nada determinado. Hé aquí precisamente lo que nos sucede con la idea de lo infinito: en vano nos preguntamos qué es lo que corresponde á ella en nuestro interior: el concepto de ser en general y de negacion de límite, nada nos presentan fijo, sino ciertas condiciones abstractas á que vamos sometiendo los objetos, á medida que se ofrecen á nuestra intuicion, ó que por lo menos se nos presentan con algunas propiedades que los caractericen, permitiéndonos formar una idea menos vaga de la negacion del límite.
CAPÍTULO VIII.
SE COMPRUEBA CON APLICACIONES Á LA EXTENSION, LA DEFINICION DE LA INFINIDAD
[59.] Hemos explicado la idea de infinidad en general, por los conceptos indeterminados de ser y negacion de límite. Para cerciorarnos de que la explicacion es fundada, y de que se han señalado los caractéres constitutivos del concepto, veamos si sus aplicaciones á objetos determinados corresponden á lo que se ha establecido en general.
Si la idea de infinidad consiste en lo que se ha dicho, se verificará que será susceptible de aplicarse á todos los objetos de la intuicion sensible ó del entendimiento puro, obteniéndose los resultados que deben obtenerse, inclusas las anomalías que anteriormente se han hecho notar (Cap. V).
[60.] Las anomalías, ó mas bien contradicciones, que parecen encontrarse en las aplicaciones de la idea de infinidad, ofreciéndose como infinita una cosa que luego se descubre no serlo, se originan de que se aplica dicha idea bajo condiciones diferentes. Esta variedad no seria posible, si la idea representase algo determinado; pero como solo contiene la negacion de límite en general, unida á un ser tambien en general, resulta que esta negacion la sometemos en cada caso á condiciones particulares, y así sucede que cuando pasamos á otras condiciones, la idea general no puede darnos el mismo resultado.
[61.] Una línea tirada desde el punto en que nos encontramos, en direccion del norte y prolongada hasta lo infinito, nos ha resultado infinita y no infinita (Cap. V). Esta contradiccion solo es aparente: en la realidad no hay mas que el diferente resultado á que debe conducir la idea general por la condicion bajo la que se le aplica.
Cuando consideramos una línea prolongada hasta lo infinito en la direccion del norte, no aplicamos la idea de infinito á un valor lineal en abstracto, sino á una recta que parte de un punto y prolongada solo en una direccion: el resultado es el que debe ser; se afirma la negacion del límite bajo una condicion; el infinito resulta sujeto á la misma condicion. Se dirá que no hay medio entre el sí y el nó, y por consiguiente entre lo infinito y no infinito; pero no es difícil soltar la dificultad observando que el sí y el nó para ser contradictorios, se han de referir á una misma cosa, lo que no sucede cuando se han cambiado las condiciones del objeto.
[62.] Si en vez de suponer una prolongacion sola, hubiésemos tratado de aplicar la negacion de límite á una recta en general, es evidente que debiéramos haberla prolongado en los dos sentidos opuestos; entonces nos resultaba un nuevo infinito con arreglo á la nueva condicion.
Ya hemos visto (Cap. V) que ni aun en este caso teníamos un valor lineal infinito en todo rigor; pues que esta recta solo formaba parte de la suma de otras que se podian imaginar. ¿Qué diremos pues de ella? ¿será infinita ó nó? ambas cosas se pueden decir haciendo la distincion debida. Será infinita, esto es, tendremos la idea de infinidad ó negacion de límite, aplicada con todo rigor á una linea recta sola; pero si en vez de tratar de una recta sola se trata de un valor lineal, sin ninguna condicion, la línea supuesta no será infinita; la negacion de límite no está aplicada bajo aquella condicion; el resultado pues será diferente, dejará de ser infinito.
[63.] Considerando dos líneas solas se puede hacer notar la misma anomalía. Supóngase una recta prolongada en los dos sentidos hasta lo infinito, y descríbase á su lado una curva que en undulaciones continuas se vaya prolongando hasta lo infinito en direccion paralela á la recta. Serán ambas infinitas segun como se las considere. Si se atiende solo á su direccion, prescindiendo del valor lineal que encierran, ambas son infinitas; pero si se atiende á este, la curva es mas larga que la recta porque es evidente que tomando una parte de la curva correspondiente á una parte de la recta y extendiendo ó rectificando la de la curva, resultará mayor que la de la recta; y como esto se puede hacer en toda la prolongacion de las líneas tendremos que el valor lineal de la curva será mayor que el de la recta en proporcion á la ley de sus undulaciones.
[64.] Por esta doctrina se echa de ver como la idea de infinidad puede aplicarse bajo diferentes condiciones, y producir diferentes resultados, sin ninguna contradiccion. Lo que es infinito bajo un aspecto, no lo es bajo otro; y de aquí procede lo que se llama órdenes de infinitos, y que tanto figuran en las matemáticas; pero repito que estas contradicciones no son susceptibles de explicacion si se atribuye á la idea de infinito un valor absoluto y no se le considera como la representacion abstracta de negacion de límite.
[65.] ¿Es posible concebir en una línea recta ó curva, una longitud infinita absolutamente hablando, ó