Дискретная математика. Краткий курс. Учебное пособие. Александр Анатольевич Казанский

доказательства равенства множеств. Докажем ассоциативность пересечения (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C). Пусть имеется диаграмма Венна для трех множеств A, B и С из универсального множества U на рис. 1.10. Три овальные области представляют собой множества A, B и С. Прямоугольная область определяет множество U, и она разбита на восемь областей, которые помечены цифрами от 0 до 7. Можно видеть, что область разбиения 7 определяет множество A ∩ B ∩ C, область 6 – множество A ∩ B ∩ CС и т. д. Чтобы по диаграмме Венна проверить ассоциативность пересечения, можно использовать следующую идею. Заменим множества A, B и С и их пересечения на соответствующие им множества из областей разбиения на этой диаграмме. Множество А заменяется на {4, 5, 6, 7}, В – на {2, 3, 6, 7} и С – на {1, 3, 5, 7}, A ∩ B – на {6, 7}, B ∩ C – на {3, 7}.

      Рис. 1.10

      Несмотря на то, что множества А, В и С могут быть какими угодно, доказать любое тождество для этих множеств можно, сведя доказательство к проверке этого тождества на уменьшенных множествах разбиения.

      (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C),

      {6, 7} ∩ {1, 3, 5, 7} = {4, 5, 6, 7} ∩ {3, 7}.

      Нетрудно увидеть, что и левое, и правое множества этого тождества состоят из одного-единственного элемента 7, что и доказывает ассоциативность пересечения множеств.

      Докажем то же самое используя табличный метод. Для этого построим таблицу, столбцы которой соответствуют различным множествам тождества, а каждая строка соответствует одному из множеств разбиения (строк 8, поскольку разбиение состоит из 8 множеств в соответствии с рис. 1.9). Строки содержат ответы на вопрос, входит ли соответствующее данной строке множество разбиения во множество доказываемого тождества или нет. Три первые столбца таблицы дают ответы, входит ли соответствующее множество разбиения во множество А, во множество В и во множество С. Столбец «Левая часть» соответствует левой части доказываемого тождества (A ∩ B) ∩ C, столбец «Правая часть» – правой части A ∩ (B ∩ C).

      Поскольку ответы для всех строк «Левой части» те же самые, что и для «Правой части», тождество является доказанным. Табличный метод особенно удобен при построении доказательств с использованием компьютера.

      Алгебраический метод основывается на идее разбиения доказательства на шаги, при этом переход от одного шага к следующему осуществляется за счет применения какого-либо закона алгебры множеств (например, закона ассоциативности, дистрибутивности, поглощения и т. д.). Доказательство требует хорошего знания базисных законов алгебры множеств, а также определенный опыт их применения. Рассмотрим метод на следующем примере. Пусть требуется доказать, что

      (A ∩ C)\(A ∩ B ∩ C) = A ∩ ВС ∩ C.

      При переходе от одного шага к другому будем указывать (в правой части соответствующей строки) причины, позволяющие делать такие переходы:

      В этом примере левое выражение преобразовано в правое. Это преобразование облегчается тем обстоятельством, что известно, какое выражение должно быть получено. В то же время можно и правое выражение привести к левому. Чтобы