Например, генеральная совокупность – все книги на Goodreads. Параметр, который нас интересует, – это количество страниц. Количество страниц в каждой книге Goodreads – это и есть количественный признак генеральной совокупности.
Итак, есть оцениваемые параметры, а есть статистические оценки таких параметров. Такие оценки должны соответствовать определенным требованиям. Буду делать выборки из генеральной совокупности книг. Для каждой выборки оценю параметр, например среднее значение страниц в книге. Каждая такая выборка даст свое значение, совокупность таких значений и будет набором данных, у которого также может быть математическое ожидание (среднее). Отсюда появляется понятие несмещенной оценки.
«Несмещенной называют статистическую оценку, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки» (Гмурман стр. 198).
Соответственно, если оценка не соответствует указанным свойствам, то она является смещенной.
Вот еще пояснение из учебника «Теория и методы эконометрики», авторов Дэвидсона, Мак-Кинона (далее – Дэвидсон), который я также рекомендую.
«На интуитивном уровне это означает, что если мы станем использовать метод оценивания, дающий несмещенные оценки для расчета оценок по очень большому числу выборок, то среднее значение получаемых с его помощью оценок будет приближаться к оцениваемой величине. При прочих равных статистических свойствах двух методов оценивания несмещенный метод всегда предпочтительнее смещенного».
Однако, даже если оценка является несмещенной, все-таки дисперсия в наборе данных, на основе которых посчитана оценка, может быть большой. Поэтому еще одним требованием к оценке является эффективность.
«Эффективной называют статистическую оценку, которая (при заданном объеме выборки n) имеет наименьшую возможную дисперсию» (Гмурман, стр. 199).
Кроме того, если количество объектов в выборке стремится к бесконечности, то устанавливают требование о состоятельности.
«Состоятельной называют статистическую оценку, которая при [стремлении количества объектов к бесконечности] стремится по вероятности к оцениваемому параметру».
Про доверительные интервалы см. параграфы 14—16 гл. 16 Гмурмана.
Отдельные важные концепции математической статистики можно изучить по следующим ссылкам:
1. Про виды распределений – гл. 4 Дэвидсона. Хорошая галерея графиков с видами распределений находится здесь (https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda366.htm), там же можно найти компактное описание распределений. Еще одно описание можно найти в том же учебнике [8.1.6. What are the basic lifetime distribution models used for non-repairable populations?] (https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/apr/section1/apr16.htm). Почему важно правильно определить вид распределения? Потому что от этого зависит как применение тестов, так и проверка