Військовий інженер Борис Глебович був одним із піонерів радянського бадмінтону, він познайомився з грою в 1957 році на Всесвітньому фестивалі молоді в Москві. Він заснував у Красноармійську секцію бадмінтону, і на момент створення Федерації бадмінтону СРСР у маленькому підмосковному містечку вже було кілька першорозрядників.
Нова гра так сподобалася юному Вавілову, що він, записавшись до секції, не пропускав жодного тренування. Учні середньої школи № 2, серед яких були Костя Вавілов і Коля Пешехонов, самі робили волани та ракетки й грали через волейбольну сітку, бо спеціального інвентарю тоді просто не було. Про величезну працездатність Вавілова, його бажання досягти успіхів уже на початку 1960-х років говорили багато фахівців. Причому наголошували, що він обов’язково стане відомим спортсменом. Упевненим у цьому був і Борис Глібович, який, не поспішаючи, виховував талановитого бадмінтоніста.
Спочатку Костянтин перемагав на всесоюзних юнацьких змаганнях. Солдатом Радянської Армії, він вийшов на свій перший чемпіонат СРСР у 1964 році – як згадують сучасники, він соромився армійської стрижки наголо, тому грав у тюбетейці.
За рік, уже без тюбетейки, молодий армієць Вавілов виграв чемпіонат СРСР, а в наступні два роки ставав абсолютним чемпіоном країни: перемагав на турнірах 1966-го та 1967 років у трьох категоріях – одиночці, парі (відповідно – з Євгеном Блітштейном і Миколою Нікітіним) та змішаній парі (з Тетяною Кочетковою).
Радикальна зміна долі Костянтина Вавілова сталася у 1970 році. Тоді клуб ЦСКА розвалився після заміни тренера Володимира Дьоміна на Миколу Нікітіна. Чемпіон на певний час взагалі був поза спортом – із дружиною та маленькою дочкою на його утриманні. І Анатолій Гайдук, керівник дніпропетровського спортклубу «Метеор», скориставшись ситуацією, запросив Костянтина до Дніпра. До того ж на той момент в українському місті вже мешкали й тренувалися земляки та друзі Вавілова по Красноармійську – Микола Пешехонов, Анатолій Єршов, Тетяна Новікова, тож він їхав не на порожнє місце.
Легенди українського бадмінтону: 32-разовий чемпіон СРСР Костянтин Вавілов і 23-разовий чемпіон СРСР Микола Пешехонов (праворуч)
Анатолій Олексійович Гайдук надав Вавілову з дружиною квартиру у відомчому будинку заводу Південмаш і влаштував майстра до клубу «Метеор» старшим тренером. Прагнення Вавілова бути лідером, бути першим передалося провідним спортсменам «Метеору», що вивело клуб на новий якісний рівень. А Гайдук ухвалив геніальне тренерське рішення, поставивши Вавілова в пару з Миколою Пешехоновим: цей дует 11 разів ставав чемпіонами Союзу в період 1970–1982 рр., видавши стрічку із семи перемог поспіль (1970–1976).
У 1971 році Костянтин вступив до Київського державного інституту фізкультури. Навчався на заочному