Nulli mõte on see, et meil ei ole vaja seda igapäevastes tegevustes kasutada. Keegi ei lähe nulli kala ostma. Mõnes mõttes on see kõigist põhiarvudest kõige tsiviliseeritum ning selle kasutamise on meile peale surunud ainult kultiveeritud mõtteviisidest tulenevad vajadused.40
Whiteheadi fraas „kultiveeritud mõtteviisid“ viitab sellele, et nulli mõiste päästis valla midagi sügavamat kui lihtsalt parema loendamise ja arvutamise meetodi. Nagu Diophantos oli aimanud, võimaldas korralik arvusüsteem matemaatikal areneda lisaks mõõtmistehnikale ka abstraktseks teaduseks. Null pühkis ideede ja progressi piirid minema.
Null muutis vana arvusüsteemi radikaalselt kahel viisil. Esiteks tähendas see, et inimesed said kasutada ainult kümmet numbrit nullist üheksani, et teha kõiki kujutletavaid arvutusi ja kirjutada mistahes mõeldavaid arve. Teiseks tähendas see, et selline arvujada nagu 1, 10, 100 näitaks, et järgmine arv jadas oleks 1000. Null muudab kogu arvusüsteemi struktuuri kohe nähtavaks ja selgeks. Proovige teha sama Rooma numbritega I, X ja C või V, L ja D – milline oleks nende jadade järgmine arv?
Araabia aritmeetika esimese teadaoleva teose kirjutas matemaatik al-Khwārizmī, kes elas umbes 825. aasta paiku, umbes 400 aastat enne Fibonaccit.41 Kuigi temast on kuulnud vaid need vähesed, kes tema tööst kasu on saanud, teab enamik meist teda kaudselt. Proovige öelda kiiresti „al-Khwārizmī“. Sealt tuleb meile sõna „algoritm“, mis tähendab arvutamise reegleid.42 Al-Khwārizmī oli esimene matemaatik, kes sõnastas reeglid uute India numbritega liitmise, lahutamise, korrutamise ja jagamise kohta. Ühes teises uurimuses pealkirjaga „al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ǧabr wa-ʾl-muqābala“ ehk „Transpositsiooni ja taandamise teadus“ kirjeldas ta üksikasjalikult algebraliste võrrandite teisendamise protsessi. Meie sõna algebra, mis tähendab võrrandite teadust, on seega tulnud sõnast al-ǧabr.43
Üks varastest matemaatikutest kõige tähtsamaid ja kindlasti neist kõige kuulsam oli Umar Hajjam, luulekogumiku „Rubaiyat“ („Nelikvärsid“) autor,44 kes elas umbes aastatel 1050–1130. Inglise luuletaja Edward Fitzgerald tõlkis Victoria ajastul ära tema 75 neljarealisest luuletusest koosneva kummitava seeria (sõna Rubaiyat tähistab luulevormi). Selles õhukeses väljaandes räägitakse rohkem veinijoomise rõõmudest ja elu mööduva loomuse ärakasutamisest kui teadusest või matemaatikast. Tõepoolest, luuletuses XXVII kirjutab Umar Hajjam nii:
Kord raamatutest otsisin ma saladuste vööd,
kui tuli muret näinud mees ja laitis minu tööd.
Ta lausus mulle: „See on õnnis mees, kel kaenlas nüüd
üks piiga nagu Kuu ja aastapikkused kõik ööd!“45
Fitzgeraldi sõnul sai Umar Hajjam hariduse koos kahe sõbraga, kes olid mõlemad sama terased kui tema: Nizam al Mulk ja Hasan al Sabbah. Ühel päeval tegi Hasan ettepaneku, et kuna vähemalt üks kolmest saab rikkaks ja võimsaks, peaksid nad vanduma, et „kellele iganes see õnn sülle langeb, jagab seda võrdselt teistega ega sea ennast esikohale.“ Nad andsid kõik vande ja aja jooksul sai Nizamist sultani vesiir. Tema kaks sõpra otsisid ta üles ja palusid oma osa, mille ta neile andis, nagu lubatud.
Hasan küsis ja sai koha valitsuses, kuid kuna ta ei olnud oma ametijärje edenemisega rahul, lahkus ta sealt ja temast sai ühe kogu muhameedlikus maailmas hirmu külvanud usufanaatikute sekti juht. Palju aastaid hiljem mõrvas Hasan oma vana sõbra Nizami.
Umar Hajjam ei küsinud ühtegi tiitlit ega ametikohta. „Suurim heategu, mille sa mulle teha saad,“ ütles ta Nizamile, „on lasta mul elada mõnes oma õnne varjulises nurgakeses, et ma saaks teaduse hüvesid laialdaselt levitada ning palvetada su pika ea ja heaolu eest.“ Kuigi sultan armastas Umar Hajjami ja külvas ta teenetega üle, „vaadati Umarile tema mõtete ja kõneviisi epikuurliku jultumuse tõttu tema enda ajastul ja riigis viltu“.
Umar Hajjam kasutas uut arvusüsteemi, et töötada välja arvutamise keel, mis läks al-Khwārizmī jõupingutustest kaugemale ja millest sai keerulisema algebralise keele alus. Lisaks kasutas Umar Hajjam tehnilisi matemaatilisi tähelepanekuid kalendri reformimiseks ja selleks, et mõelda välja kolmnurkne tabel, mis lihtsustas arvutamist ruutude, kuupide ja kõrgemate matemaatiliste tehete korral. See kolmnurk oli aluseks kontseptsioonidele, mille töötas 17. sajandil välja prantsuse matemaatik Blaise Pascal, kes oli üks valiku, juhuslikkuse ja tõenäosuse teooria isadest.46
Araablaste muljetavaldavad saavutused näitavad taas kord seda, et idee võib väga kaugele areneda ja ikkagi enne loogilise järelduseni jõudmist äkki peatuda. Miks ei suutnud araablased oma edasijõudnud matemaatiliste ideedega minna edasi tõenäosusteooria ja riskijuhtimiseni? Arvan, et vastus on nende ellusuhtumises. Kes määrab meie tuleviku kindlaks: saatus, jumalad või meie ise? Riskijuhtimine kerkib esile alles siis, kui inimesed usuvad, et nad saavad mingil määral vabalt tegutseda. Sarnaselt kreeklastele ja varakristlastele ei olnud fatalistlikud moslemid veel valmis seda hüpet tegema.
Aastaks 1000 tegelesid uue arvusüsteemi populariseerimisega mauride ülikoolid Hispaanias ja mujal ning saratseenid Sitsiilias. Üks normannide välja antud Sitsiilia münt, millel on aastaarv 1134 pKr, on esimene teadaolev näide süsteemi rakendusest tegelikus elus. Siiski ei leidnud uued numbrid kuni 13. sajandini laialdast kasutust.
Hoolimata sellest, et keiser Friedrich oli Fibonacci raamatu patroon ja et raamatut levitati Euroopas laialdaselt, oli vastuseis India-Araabia arvusüsteemi kasutuselevõtule kuni 16. sajandi alguseni tugev ja vihane. Siin on meil ometi kord võimalik viivitust selgitada. Mängus oli kaks tegurit.
Osa vastupanust tulenes tegevusetust toetavatest jõududest, mis on vastu igasugusele sajandite jooksul kasutamise käigus pühaks muutunud asjade muutumisele. Täiesti uute meetodite õppimist ei tervitata kunagi avasüli.
Teine tegur põhines tugevamatel alustel: uute numbritega oli lihtsam petta kui vanadega. Nulli kuueks või üheksaks muutmine oli ahvatlevalt lihtne ning ühest sai kerge vaevaga teha 4, 6, 7 või 9 (see on üks põhjus, miks eurooplased seitsme keskele kriipsu teevad). Kuigi uued numbrid kinnitasid kõigepealt kanda Itaalias, kus haridustase oli kõrge, anti Firenzes 1229. aastal välja edikt, millega keelati pankuritel kasutada „uskmatute“ sümboleid. Selle tulemusel pidid paljud inimesed, kes tahtsid uut süsteemi kasutama õppida, maskeeruma selleks moslemiteks.47
15. sajandi keskel käsilaoga trükipressi leiutamine oli katalüsaator, mis ületas lõpuks vastupanu uute numbrite kasutamisele kõikjal. Nüüd ei olnud enam võimalik numbreid petturlikult muuta. Nüüd sai kõigile selgeks, kui naeruväärselt keeruline Rooma numbrite kasutamine oli. See läbimurre andis kaubandustehingutele sisse suure hoo. Nüüd sai al-Khwārizmī korrutustabelitest midagi, mida kõik koolilapsed pidid igavesest ajast igavesti õppima. Lõpuks ometi võttis mängurlus koos esimeste tõenäosusteooria algetega täiesti uued mõõtmed.
Algebraline lahendus Diophantose kohta käivale epigrammile on järgmine. Kui x oli tema vanus surmahetkel, siis: x = x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4.
Diophantus elas 84-aastaseks.
1200–1700: TUHAT VÄLJAPAISTVAT FAKTI
3
Renessansiajastu hasartmängur
Piero della Francesca, kes maalis järgmisel leheküljel kujutatud neitsi Maarja („Montefeltro altarimaal“48), elas