Figura 1.3. Función de utilidad lineal
Fuente: el autor.
1.4. Restricción de presupuesto
Una vez consideradas las preferencias del consumidor, los axiomas que las caracterizan y su representación a partir de una función de utilidad, el segundo elemento del análisis en la elección racional es la recta de presupuesto que enfrenta el agente analizado. Dicha restricción tiene tres grandes componentes:
1. El ingreso del consumidor, que significa el poder de compra del individuo representativo al momento de tomar sus decisiones de demanda de la cesta de consumo x elegida.
2. Las demandas individuales de los bienes o mercancías, acorde a su cesta de consumo x= (x1, x2).
3. Los precios de mercado de los bienes que componen la cesta de consumo x, es decir, el vector p= (p1, p2): p1, p2 se asocian a las mercancías x1, x2, respectivamente.
Lo expuesto implica que los precios de las mercancías los determina el mercado, con base en la interacción entre los oferentes y demandantes de estas, bajo los supuestos de la competencia perfecta. La recta o restricción de presupuesto se define con una ecuación desde el punto de vista vectorial:
Donde:
I: ingreso del consumidor representativo, el cual es exógeno o dado.
px t: gasto del consumidor en las mercancías de la cesta de consumo.
En caso de dos mercancías, la restricción de presupuesto se corresponde con la ecuación de resta equivalente a p1 x1 + p2 x2 ≤ I. La restricción se plantea en términos de desigualdad, dado que un consumidor no puede gastar más del ingreso que percibe. Esto conlleva que el gasto debe ser menor o igual a dicho ingreso. Si el consumidor desea que su utilidad sea máxima, tiene que agotar todo su ingreso, por lo que la restricción se cumple en términos de igualdad, como se expresa en la ecuación p1 x1 + p2 x2 = I y se representa en la figura 1.4.
Figura 1.4. Restricción de presupuesto
Fuente: el autor.
1.5. Maximización de la utilidad: caso primal
En un mercado de competencia perfecta, el problema del consumidor representativo implica que sus “deseos” se deben satisfacer a partir de la demanda de la cesta de bienes, teniendo en cuenta sus ingresos; es decir, el consumidor quiere tener el mayor nivel de utilidad en concordancia con sus preferencias y su restricción de presupuesto. Desde el punto de vista matemático, el problema del consumidor se puede expresar como un proceso de optimización restringida donde:
•Ui (x1, x2) es la función de utilidad (función objetivo).
•p1 x1 + p2 x2 = I es la restricción presupuestaria.
En este caso, el problema se sintetiza en que el consumidor maximiza sus preferencias sujeto a su presupuesto de gasto en la cesta de consumo x:
Este problema se soluciona considerando la forma funcional de la curva de indiferencia del consumidor. El método de multiplicadores de Lagrange permite su solución con el cálculo diferencial en la medida en que la función de utilidad sea continua, diferenciable y cuasicóncava estricta, tal como la tipo Cobb-Douglas.
Para funciones de utilidad tipo Leontief o lineales, el método de solución puede ser gráfico o generalizarse a partir de técnicas de optimización, como el de Kuhn-Tucker (Monsalve, 2016). Aquí se solucionan tres casos, uno por cada forma funcional de la utilidad del consumidor, desde los puntos de vista matemático y analítico.
1.5.1. Caso 1: función Cobb-Douglas (x1, x2 > 0)
Sea la función de utilidad para el consumidor de la forma U(x1, x2 )= x1α x2β y la restricción de presupuesto de la forma descrita antes, es decir, p1 x1 + p2 x2 = I. La función lagrangiana que permite solucionar dicho problema es la ecuación (1):
Las condiciones de primer orden (necesarias) de la función de Lagrange para hallar las demandas óptimas de la cesta de consumo x corresponden a las derivadas parciales del lagrangiano con respecto a las mercancías x1, x2 y al multiplicador λ:
Hay que tener en cuenta que el consumidor toma decisiones en términos marginales, como lo expresan Acemoglu et al. (2016): “el principio de optimización marginal dice que una alternativa posible óptima tiene la propiedad de que, si pasas de cualquier alternativa a ella, te beneficias y, si la dejas por otra, te perjudicas” (p. 52). Esto quiere decir que la demanda de las mercancías se define sobre la base de la utilidad adicional que genera el consumo de una unidad más bajo el supuesto de ceteris paribus.
La expresión latina ceteris paribus significa “todo lo demás constante”. En la teoría del consumidor, el análisis marginal indica: si varía la demanda por una mercancía, las demás variables se consideran constantes (precios, cantidades de la otra mercancía, ingresos del individuo). En este caso, la utilidad adicional que genera el consumo adicional de la mercancía debe equivaler a su precio, lo cual se puede identificar en las ecuaciones (2) y (3) equivalentes del proceso de optimización realizado:
Ahora, la solución del modelo implica que al combinar las ecuaciones resultantes se obtiene la relación marginal de sustitución entre las mercancías (combinar ecuaciones):
La ecuación (5) indica que la relación de precios (precios relativos) es equivalente a la de utilidades marginales, denominada relación marginal de sustitución (RMS), definida por Pindyck y Rubinfeld (2013) como la “cantidad de un bien a la que está dispuesta a renunciar una persona para obtener una unidad más de otro” (p. 705):
De la ecuación (5), después de un poco de álgebra y de despejar para x1, se obtiene la ecuación (6):
Si se reemplaza la ecuación (4) en la (6) y se despeja para x2, se llega a la ecuación (7), que refleja la demanda ordinaria de la mercancía x2:
De nuevo, con un poco de álgebra, y combinando las ecuaciones (6) y (7), se tiene la demanda ordinaria de la mercancía x1 (ecuación 8):
Desde el punto de vista gráfico, el proceso de optimización restringido desarrollado se sintetiza en la figura 1.5.
Figura 1.5. Demandas ordinarias óptimas en el caso Cobb-Douglas
Fuente: el autor.
1.5.2. Caso 2: función tipo Leontief (x1, x2