Сопротивление материалов. Шпаргалка для студентов. Роман Сиренко

известным напряжениям, действующим на площадках, взаимно перпендикулярных друг другу и проходящих через заданную точку, можно определять напряжения по другим площадкам. Это осуществляется графическим способом, который был предложен немецким физиком О. Мором.

      Запишем формулы для определения нормальных и касательных напряжений для площадок, проходящих через заданную точку, в виде:

      σ = σ_xcos²α + σ_ysin²α + τ_xsin2α

      τ = (σ_x – σ_y)sin2α – τ_xcos2α

      Преобразуем первое выражение:

      σ = ½σ_x(1 + cos2α) + ½σ_y(1 – cos2α) + τ_xsin2α

      После тригонометрических преобразований формулы для напряжений запишутся в виде:

      τ = (σ_x – σ_y)sin2α – τ_xcos2α

      Обе части этих выражений возведем в квадрат, а затем сложим:

      Сопоставим полученное 2 уравнением окружности (x – a)² + (y – b)² = R².

      Будем считать ось абсцисс осью нормальных напряжений, а ось ординат – осью касательных напряжений, график зависимости между этими напряжениями представляет окружность, центр которой находится в точке с координатами

 и радиусом, определяемым формулой 

. График этой окружности называется кругом напряжений, или кругом Мора.

      Пример напряженного состояния и построенного для него круга Мора приведен на Рис. 6.1. Координаты каждой точки этого графика представляют собой напряжения по одной из площадок, проходящих через точку тела, для которой построен график напряженности.

      Рис. 6.1

      Рис. 6.2

      При помощи круга Мора также определяются главные напряжения и положения главных площадок (Рис. 6.2), а также экстремальные касательные напряжения.

      13. Объемно-напряженное состояние материала

      Для изучения объемно-напряженного состояния материала выберем произвольную точку тела, находящегося в напряженном состоянии, и выделим в окрестности этой точки элементарный кубик, по граням которого действуют главные напряжения σ₁, σ₂, σ₃.

      Проведем сечения, параллельные каждому из главных напряжений, и определим значение нормальных и касательных напряжений на этих площадках (Рис 7.1, Рис. 7.2, Рис. 7.3).

      Рис. 7.1

      Рис. 7.2

      Рис. 7.3

      Из условий равновесий составленных для отсеченных участков кубиков следует, что действующие на наклонных площадках напряжения не зависят от того из главных напряжений, параллельно которому эти площадки проведены. Обозначим угол наклона площадки α, применив принцип независимости действия сил, нормальные и касательные напряжения рассмотрим как сумму действия напряжений от σ₁ и σ₂.

      σ_α = σ₁cos²α + σ₂cos²(α + 90°)

      τ_α = 0,5σ₁sin2α + 0,5σ₂sin2(α + 90°)

      Выполнив математические преобразования, запишем соотношения в виде:

      σ_α = σ₁cos²α + σ₂sin²α

      τ_α = 0,5(σ₁ + σ₂)sin2α

      Полученные формулы определяют нормальные и касательные напряжения в случае объемно-напряженного состояния материала,