Применяя такую аппроксимацию к движению планет, по крайней мере качественно, можно свести кажущееся хаотичное перемещение к закономерному. Это открытие, без сомнения, вызвало восторг у Платона. Однако какую цель ставил перед собой сам Евдокс? Есть все основания полагать, что восхищение, которое вызвало у греков предложенное им объяснение, относилось не столько к предсказательной силе теории, сколько к ее геометрическим достоинствам. Для оценки реального характера достижений Евдокса необходимо хотя бы в общих чертах воспроизвести ее геометрическую реконструкцию, предложенную в 1870‐х гг. талантливым итальянским астрономом Джованни Вирджинио Скиапарелли. Используя известные теоремы греческой геометрии, уже употреблявшиеся во времена Евдокса, он показал, что гиппопеда является линией пересечения цилиндра со сферой, на которой лежит эта кривая. Цилиндр при этом, как предполагается, изнутри касается сферы (см. ил. 43).
43
Гиппопеда как кривая, получающаяся при пересечении сферы и цилиндра, касающегося ее изнутри. Буквенные обозначения соответствуют приведенным на ил. 44.
Этот красивый геометрический вывод, лишь отдаленно напоминающий описания, составленные Аристотелем и Симпликием, был не так уж и чужд рассматриваемой эпохе. Учитель Евдокса Архит, решая проблему удвоения куба, рассматривал пересечение трех поверхностей вращения – тора (якорного кольца), конуса и цилиндра. Те, кто считает, будто Евдокс не мог оказаться вне этого тренда, но не выражает желания рассуждать об этом в категориях трансцендентных кривых четвертого порядка, могли бы дополнить сферу и цилиндр еще одной простой поверхностью, где можно расположить гиппопеду. Это некая поверхность, постоянным сечением которой является парабола. (Представьте лист бумаги, согнутый таким образом, чтобы два его противоположных края образовывали две одинаковые параболы, тогда линия гиппопеды будет полностью лежать на этом листе.) У нас нет убедительных доказательств того, знал ли Евдокс об этом свойстве изобретенной им гиппопеды, однако то же самое может быть со всей строгостью применено и к сечению цилиндра. Исходно сам Евдокс, скорее всего, рассуждал именно в этих категориях, хотя, когда средневековые и ренессансные астрономы узнали о подобных моделях, они выказали их непонимание, во всяком случае в некоторых аспектах.
44
Вспомогательная схема, позволяющая понять геометрию гиппопеды. Диаграмма вписана в центральную плоскость ил. 43.
Модель Евдокса оказалась столь значима в истории геометрической астрономии, что нам просто необходимо доказать ее хотя бы схематично для демонстрации элегантности астрономической доктрины, разработанной более двадцати трех столетий назад. Будем