Читатель может заметить, что два силлогизма, содержащие частноотрицательную посылку, АОО во второй фигуре и ОАО в третьей, нельзя свести к первой фигуре только посредством обращения и перестановки посылок. Однако если допустить операцию превращения, то со сведением не возникнет сложностей.
Превращение, однако, не рассматривалось Аристотелем как допустимый способ осуществления сведения. При этом он открыл очень важный логический принцип, являющийся обобщением идеи контрапозиции условных суждений. Прежде чем формулировать данный принцип, проиллюстрируем его.
Допустим, посылки следующего силлогизма являются истинными. Нам нужно доказать, что заключение является истинным с необходимостью.
Некоторые виды стали не являются магнитными.
Все виды стали суть металлы.
∴ Некоторые металлы не являются магнитными.
Заключение является либо истинным, либо ложным. Если оно ложно, то противоречащее ему суждение «все металлы являются магнитными» истинно. Сочетая это суждение с меньшей посылкой силлогизма, получаем:
Все металлы являются магнитными.
Все виды стали являются металлами.
∴ Все виды стали являются магнитными.
Последний силлогизм представляет правильный модус первой фигуры. Но поскольку, согласно гипотезе, обе посылки исходного силлогизма истинны, то заключение второго силлогизма не может быть истинным, поскольку оно противоречит большей посылке исходного силлогизма. Следовательно, большая посылка второго силлогизма не может быть истинной, или, что одно и то же, заключение первого силлогизма не может быть ложным. Следовательно, оно должно быть истинным.
Таким образом, правильность модуса ОАО третьей фигуры доказывается с помощью правильного силлогизма из первой фигуры и принципа, известного как reductio ad absurdum. Правильность модуса АОО из второй фигуры может быть доказана таким же способом. Данный метод можно также использовать и для других модусов.
Проявим теперь принцип reductio ad absurdum в более абстрактной форме. Пусть «р» обозначает суждение «некоторые виды стали не являются магнитными», «q» обозначает суждение «все виды стали являются металлами», а «r» обозначает суждение «некоторые металлы не являются магнитными». Пусть «p′», «q′», «r′» обозначают суждения, противоречащие данным соответственно. Тогда в исходном силлогизме утверждается, что р и q вместе имплицируют r. В символьной форме: (p . q) ⊃ r. Мы показали, что суждение, противоречащее r, вместе с q имплицирует суждение, противоречащее р. В символьной форме: (q . r′) ⊃ p′. Сведение к первому силлогизму зависит от эквивалентности этих двух импликаций. Данная эквивалентность является простым продолжением эквивалентности между условным суждением и противопоставленным ему суждением. Ранее мы показали, что если а и b являются любыми двумя суждениями, то (а ⊃ b) ≡ (b′ ⊃ a′). Теперь мы получаем:
[(p . q) ⊃ r] ≡ [(q . r′) ⊃ p′] ≡ [(p . r′) ⊃ q′].
Итак,