Волновая функция ψ выражена семейством функций. Под Δ обозначают ∂2/∂x2+∂2/∂y2+∂2/∂z2…, под ∂t обозначают ∂/∂t, под a=ħ2/ (2M). В дальнейшем в этой главе мы откажемся от многомерного случая и будем рассматривать только одномерный случай:
Пример решения
Выполним замены в уравнении Шредингера на следующий справедливые тождества (выбранное решение для волновой функции A и разложенные в ряд Фурье значения B,C):
F (x) – произвольная дифференцируемая функция F (x) ≠0 для всех x∈ (-R,R), если F (x) =0 в точке x возникнет неопределённость для уравнения Шредингера
,
следовательно F (x) либо строго положительная, либо строго отрицательная функция, если F (x) ∈R. Если F (x) =const, тогда m – нечётное, В остальных случаях m∈N.
Подставим тождества в одномерное уравнение Шредингера, преобразовав его до вида:
В выражении (4*) есть общие члены exp (iπmx/R) exp (iπnx/R). Необходимо их сократить, оставив в результате лишь коэффициенты тригонометрического ряда:
Применим метод разделения переменных относительно ψ (t,n,m). Решив данную задачу, мы получим:
Коэффициент C0 определяется исходя из соотношений для вероятности
.
Так как область распределения волновой функции ограничивается на практике (-R,R), в некоторых теоретических случаях R=∞, тогда:
Возможность заменить ∞ на R появляется в случае, когда значение C0 не принципиально, поскольку, как мы убедимся в конце этой главы, коэффициент C0 не будет влиять на выводы, сделанные при анализе решения уравнения Шредингера для полной энергии E.
Таким образом, имея вначале наиболее общее решение для ψ, мы получили набор частных решений волновой функции.
Энергия E электрона для выбранных квантовых чисел из стационарного одномерного уравнения Шредингера:
Для трёхмерного случая полная энергия составит:
В заключение отметим, что выражение E не имеет хотя бы какой-нибудь пользы для точного её определения, так как в выражении для энергии E присутствует произвольная величина F (x) для одномерного и F (x,y,z) для трёхмерного случаев. Исходя из неизвестного E (U (x)) точное определение F (x) невозможно.
Поиск сильного решения в рамках данного аналитического метода