В 1924 году Гёдель поступил в Венский университет. Он собирался изучать физику, но вскоре его пленила своей красотой математика, особенно мысль о том, что абстракции вроде чисел и окружностей существуют вечно и неизменно, независимо от человеческого сознания. Это учение называется платонизм, поскольку происходит от теории идей Платона, и всегда было популярно среди математиков. Однако в венских философских кругах двадцатых годов платонизм считался безнадежно устаревшим. В богатейшей культуре венских кафе процветали всевозможные интеллектуальные направления, но наибольшую известность получил «Венский кружок» – группа мыслителей, объединенных представлением о том, что философию следует очистить от метафизики, переосмыслить и превратить в точную науку. Под влиянием Людвига Витгенштейна, невольно ставшего их гуру, члены Венского кружка стали считать математику игрой с символами, вроде шахмат, только сложнее. Они полагали, что утверждение наподобие «2+2=4» истинно не потому, что оно точно описывает какой-то абстрактный мир чисел, а потому, что его можно вывести в рамках логической системы в соответствии с определенными правилами.
Гёделя привел в Венский кружок его университетский преподаватель, однако о своих платонических воззрениях молодой человек предпочитал молчать. Он любил строгость во всем и не терпел споров, поэтому не хотел отстаивать свои воззрения, пока не разработает безупречного доказательства своей правоты. Но как доказать, что математику нельзя свести к логическим ухищрениям? Гёдель избрал тактику сверхъестественно хитрую и одновременно, по словам философа Ребекки Голдштейн, «умопомрачительно красивую»: он обратил логику против себя самой. Он начал с логической системы математики – предполагалось, что эта система лишена противоречий – и построил своеобразную схему, благодаря которой смысл формул стал демагогическим. Формула, говорившая что-то о числах, согласно этой схеме могла толковаться как высказывание о других формулах и об их логическом соотношении друг с другом. Более того, как показал Гёдель, численную формулу можно заставить даже сказать что-то о себе самой. Тщательно выстроив этот аппарат математической самоссылаемости, Гёдель придумал поразительный трюк: составил формулу, которая не просто прямо говорила что-то о числах, но и добавляла: «Я недоказуема». Поначалу показалось, будто это парадокс, ведь он напоминает древнюю притчу о критянине, который говорил, что все критяне лжецы. Однако ссылающаяся сама на себя формула Гёделя говорит не о своей истинности, а о своей доказуемости. Может ли она лгать, утверждая «Я недоказуема»? Нет: если бы она лгала, это означало бы, что она доказуема, а доказуемость сделала бы ее истинной. Потому, утверждая, что ее нельзя доказать, она говорит истину. Но истинность этого утверждения