Число решений мы знаем: 143. Чтобы найти все точки циферблата, которые дают требуемые положения стрелок, надо окружность циферблата разделить на 143 равные части: получим 143 точки, являющиеся искомыми. В промежуточных точках требуемые положения стрелок невозможны.
Совпадение часовых стрелок
ЗАДАЧА
Сколько есть положений на правильно идущих часах, когда часовая и минутная стрелки совмещаются?
РЕШЕНИЕ
Мы можем воспользоваться уравнениями, выведенными при решении предыдущей задачи: ведь если часовая и минутная стрелки совместились, то их можно обменять местами – от этого ничего не изменится. При этом обе стрелки прошли одинаковое число делений от цифры 12, т. е. х = у. Таким образом, из рассуждений, относящихся к предыдущей задаче, мы выводим уравнение
где m — целое число от 0 до 11. Из этого уравнения находим:
Из двенадцати возможных значений для т (от нуля до 11) мы получаем не 12, а только 11 различных положений стрелок, так как при m = 11 мы находим x = 60, т. е. обе стрелки прошли 60 делений и находятся на цифре 12; это же получается при m = 0.
Искусство отгадывать числа
Каждый из вас, несомненно, встречался с «фокусами» по отгадыванию чисел. Фокусник обычно предлагает выполнить действия следующего характера: задумай число, прибавь 2, умножь на 3, отними 5, отними задуманное число и т. д. – всего пяток, а то и десяток действий. Затем фокусник спрашивает, что у вас получилось в результате, и, получив ответ, мгновенно сообщает задуманное вами число.
Секрет «фокуса», разумеется, очень прост, и в основе его лежат все те же уравнения.
Пусть, например, фокусник предложил вам выполнить программу действий, указанную в левой колонке следующей таблицы:
Затем фокусник просит вас сообщить окончательный результат и, получив его, моментально называет задуманное число. Как он это делает?
Чтобы понять это, достаточно обратиться к правой колонке таблицы, где указания фокусника переведены на язык алгебры. Из этой колонки видно, что если вы задумали какое-то число х, то после всех действий у вас должно получиться 4х + 1. Зная это, нетрудно «отгадать» задуманное число.
Пусть, например, вы сообщили фокуснику, что получилось 33. Тогда фокусник быстро решает в уме уравнение 4x + 1 = 33 и находит: х = 8. Иными словами, от окончательного результата надо отнять единицу (33 – 1 = 32) и затем полученное число разделить на 4 (32: 4 = 8); это и дает задуманное число (8). Если же у вас получилось 25, то фокусник в уме проделывает действия 25 – 1 = 24, 24: 4 = 6 и сообщает вам, что вы задумали 6.
Как видите, все очень просто: фокусник заранее знает, что надо сделать с результатом, чтобы получить задуманное число.
Поняв это, вы можете еще более удивить и озадачить ваших приятелей, предложив им самим, по своему усмотрению, выбрать характер действий над задуманным числом. Вы предлагаете приятелю задумать число и производить в любом порядке действия следующего характера: прибавлять или отнимать известное число (скажем: прибавить 2, отнять 5 и т. д.), умножать[1] на известное число (на 2, на 3 и т. п.), прибавлять или отнимать задуманное