Можно выделить три основных случая применения формул, которые при этом могут существенно отличаться по внешнему виду и сути: формулы в чистой математике, формулы для записи законов природы, химические формулы.
Первый тип формул – это, по сути, элементы особого языка, особого способа описания структуры, которую мы выявляем (открываем) лишь постепенно, на протяжении многих сотен лет. Существенно, что ее элементы оказываются связанными друг с другом (иногда довольно «чудесным», т. е. причудливым и неожиданным, образом) определенными законами и правилами, которые также выявляются лишь по ходу выявления свойств структуры.
Второй тип формул – способ описания мира, в первую очередь реального. Однако, как мы увидим позже, работа с гипотезами (которые в основном оказываются неверными в применении к наблюдаемой природе) приводит к тому, что физические формулы служат и для описания возможных миров, отличающихся от нашего. Сила второго вида формул состоит в наличии их первого типа. Иначе говоря, к законам природы можно применять методы манипулирования, уже разработанные математиками для абстрактных структур.
Особняком стоят химические формулы, описывающие структуры молекул и реакции между ними. Наверняка именно та или иная форма записи строения какой-нибудь молекулы – первое, что приходит в голову многим людям при упоминании слова «формула» (эти ассоциации используют в рекламе, рассказывая о новом моющем средстве или моторном масле). В первую очередь формулы – очень удобный способ визуализации. В данном случае они не имеют отношения к математике. Соответственно, мощные методы этой науки неприменимы для манипуляций с химическими формулами. Однако у химиков есть свои методы, да и математические формулы они тоже активно используют.
Отдельно можно выделить четвертый тип формул, связанный с диаграммами, соответствующими реакциям в самых разных науках. Это или схемы, или одна из форм математической записи, т. е. они выделяются скорее по форме, чем по содержанию, и демонстрируют заметное разнообразие, если их не сортировать по подклассам. В первую очередь здесь стоит назвать диаграммы Фейнмана. В данном случае речь идет не просто о визуализации, а о методе, упрощающем вычисления. Так что с некоторыми оговорками можно считать эти диаграммы подвидом формул второго типа.
Нас в первую очередь будут интересовать формулы в физике (законы природы) и стоящая за ними математика, обеспечивающая аппарат манипулирования. Вместе это страшная сила. Как пишет Михаил Громов, «математика