За свою научную деятельность Евклид написал 13 томов «Начал» – труд по геометрии, рассматривающий широкий спектр вопросов, касающихся планиметрии и стереометрии. Выдвигая различные теории, Евклид разрабатывал также методику доказательств и обоснований своих идей. Интересно, что разные «Начала» существовали и до Евклида. И прежде многие ученые писали труды под таким названием. Однако лишь Евклидовы «Начала» стали знаменитыми на весь мир. Ведь гениальный геометр собрал, классифицировал и обосновал с научной точки зрения все утверждения своих предшественников.
Скажем, цитируя теорему Пифагора, которая устанавливает соотношение между сторонами прямоугольного треугольника, Евклид уточнил, что «теорема верна для всех случаев прямоугольных треугольников». Также он изложил платоновскую теорию «золотого сечения» – правило идеальных пропорций, когда отрезок делится на две части таким образом, что большая его часть является средней пропорциональной между целым отрезком и меньшей его частью. И сегодня это правило применяется в архитектуре, скульптуре и даже в медицине. Кроме того, ученый исследовал так называемые платоновские тела – правильные многогранники, которые являются трехмерными аналогами плоских правильных многоугольников. Именно Евклид доказал: правильных многоугольников может быть много, а вот правильных многогранников – только пять. С треугольными гранями – тетраэдр, октаэдр, икосаэдр; с четырехугольными – куб (гексаэдр); и с пятиугольными – додекаэдр. Вдобавок ученый разработал способ вычисления объема других трехмерных фигур – параллелепипеда, конуса, пирамиды и цилиндра.
Именно в «Началах» Евклид первым из всех ученых начал подкреплять свои теории цепочками строгих логических рассуждений. При этом он осознавал, что цепочка должна где-то начинаться, а не вырастать на пустом месте, поскольку в противном случае она может никогда не закончиться. А так как добраться до первоначального суждения было весьма трудно, Евклид сформулировал 5 аксиом – утверждений, не требующих доказательств. Опираясь только на эти аксиомы, Евклид вывел остальные доказательства и теоремы.
Весь труд ученого базируется на понятиях «плоскость», «прямая», «точка», «движение». Они соотносятся между собой следующим образом: «точка расположена на прямой, лежащей на плоскости»; и «точка расположена между двумя другими точками». Сами же аксиомы звучат так: 1) от всякой точки до всякой точки можно провести прямую; 2) ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой; 3) из всякого центра может быть описан круг; 4) все прямые углы