На поверхности третьей сферы зафиксированы полюса четвертой, причем ее ось постоянно наклонена на свою величину для каждой планеты относительно оси третьей сферы. Четвертая сфера вращается вокруг своей оси за тот же период, но в направлении противоположном направлению вращения третьей сферы. На экваторе четвертой сферы закреплена планета и, таким образом, наделена четырьмя движениями: одним суточным, другим орбитальным по зодиакальному кругу и еще двумя в синодический период. Какое действие оказывают эти два последних движения на видимое положение планеты в небе? На приводимом рисунке сфера (третья) вращается вокруг фиксированного диаметра АВ (мы можем вообще не учитывать движение первой, суточной, сферы, и покамест пренебречь и движением второй сферы); во время этого вращения вокруг АВ некоторая точка Р, один из полюсов четвертой сферы, описывает небольшой круг QPR, в то время как эта четвертая сфера в тот же период, но в противоположном направлении, завершает вращение вокруг Р и другого полюса Р′. Планета находится в точке М на экваторе четвертой сферы, таким образом РМ= 90°. Следующая задача заключается в том, чтобы определить путь, описываемый М, спроецированный на плоскость окружности AQBR. Это довольно просто сделать при помощи современной математики, но мог ли Евдокс решить эту задачу при помощи простых геометрических рассуждений? Этот вопрос превосходно исследовал Скиапарелли и показал, что решение этой задачи было по силам геометру такого несомненного таланта, как Евдокс. В итоге получается, что проецируемый путь симметричен относительно линии АВ, что на ней есть двойная точка и что это не более чем всем известная «восьмерка», или лемниската, уравнение которой: г2 = а2 cos 2θ, или, строго говоря, фигура такого рода, лежащая на поверхности небесной сферы, по каковой причине Скиапарелли называет ее сферической лемнискатой. Продольная ось кривой проходит вдоль зодиака, а ее длина равна диаметру окружности, описываемой Р, полюсом сферы, которая несет планеты. Двойная точка находится в 90° от двух полюсов вращения третьей сферы. Планета описывает кривую, двигаясь в направлении, указанном стрелкой, и проходит дуги 1—2, 2—3, 3—4, 4—5 и т. д. за равные промежутки времени.
До сих пор мы рассматривали только движение точки М под действием вращений третьей и четвертой сферы. Но сейчас мы должны вспомнить, что ось АВ обращается вокруг эклиптики в течение сидерического периода планеты. Во время этого движения продольная ось лемнискаты всегда совпадает с эклиптикой, по которой кривая