Идея о теоретическом существовании «плохих» точек принадлежала Ренни, хотя мы, разумеется, были заинтересованы в «хороших» точках. Стратегия Ренни напоминала концепцию отрицательного пространства, к которой прибегают художники: чтобы лучше уяснить интересующий вас объект, постарайтесь уяснить пространство, окружающее этот объект. В частности, Ренни придумал, как доказать, что «плохие» точки занимают нулевую площадь.
Чтобы составить некоторое представление о его доказательстве, сосредоточимся на наихудших из «плохих» точек, которые я буду называть «ужасными». Эти точки – самые непокорные в своем стремлении воспрепятствовать достижению синхронизма: они вообще не поддаются поглощениям. Когда система начинает свою работу с какой-либо ужасной точки, никакая из пар осцилляторов (и тем более не вся популяция осцилляторов) не сможет синхронизироваться.
Чтобы понять, почему ужасные точки не могут занимать площадь больше нулевой, вообразите все эти точки в виде некой совокупности и проанализируйте, что произойдет, когда мы применим наше преобразование ко всем точкам в такой совокупности. Каждая ужасная точка перескочит в какое-то другое место, но после такого преобразования она все равно останется ужасной. Это звучит почти как тавтология: если какая-либо точка никогда не приводит к поглощению, то после одной итерации нашего преобразования она все равно никогда не приведет к поглощению. Следовательно, новая точка также является ужасной. Поскольку первоначальная совокупность включала все ужасные точки (по определению), эта новая точка должна была бы где-то здесь появиться, чтобы она могла исполнить роль начальной.
Наш вывод заключается в том, что преобразованная совокупность находится полностью внутри первоначальной совокупности. Могу предложить более наглядную аналогию: это похоже на хорошо известные вам фотографии «до» и «после», используемые в рекламе всевозможных диет для похудения. Преобразованная совокупность – похудевшая «после» – фотография – полностью содержится внутри толстой «до» – фотографии (как в рекламе диет для похудения).
До сих пор в нашем доказательстве не использовалась какая-либо информация о форме кривой заряда или величине «толчков». Когда мы в конечном счете учтем эти детали, мы придем к выводу, который, на первый взгляд, может показаться парадоксальным, хотя на самом деле он является решающим доводом в нашем доказательстве. Нам с Ренни удалось доказать, что преобразование из «до» в «после» действует подобно функции увеличения масштаба в фотокопировальном