Что бы мы ни думали о социальной системе, которая относится терпимо к рабству, мы обязаны чистой математикой благородным в вышеупомянутом смысле слова. Идеал созерцательной жизни, поскольку он вел к созданию чистой математики, оказался источником полезной деятельности. Это обстоятельство увеличило престиж самого этого идеала, оно принесло ему успех в области теологии, этики и философии, успех, которого в противном случае могло бы и не быть.
Так обстоит дело с объяснением двух сторон деятельности Пифагора: Пифагора как религиозного пророка и Пифагора как чистого математика. В обоих отношениях его влияние неизмеримо, и эти две стороны не были столь самостоятельны, как это может представляться современному сознанию.
При своем возникновении большинство наук было связано с некоторыми формами ложных верований, которые придавали наукам фиктивную ценность. Астрономия была связана с астрологией, химия – с алхимией. Математика же была связана с более утонченным типом заблуждений. Математическое знание казалось определенным, точным и применимым к реальному миру; более того, казалось, что это знание получали, исходя из чистого размышления, не прибегая к наблюдению. Поэтому стали думать, что оно дает нам идеал знания, по сравнению с которым будничное эмпирическое знание несостоятельно. На основе математики было сделано предположение, что мысль выше чувства, интуиция выше наблюдения. Если же чувственный мир не укладывается в математические рамки, то тем хуже для этого чувственного мира. И вот всевозможными способами начали отыскивать методы исследования, наиболее близкие к математическому идеалу. Полученные в результате этого концепции стали источником многих ошибочных взглядов в метафизике и теории познания. Эта форма философии начинается с Пифагора.
Как известно, Пифагор говорил, что «все вещи суть числа». Если это положение истолковать в современном духе, то в логическом отношении оно кажется бессмыслицей. Но то, что понимал под этим положением Пифагор, не совсем бессмыслица. Пифагор открыл, что число имеет большое значение в музыке; об установленной им связи между музыкой и арифметикой напоминают до сих пор такие математические выражения, как «гармоническое среднее» и «гармоническая прогрессия». В его представлении числа, наподобие чисел на игральных костях или картах, обладают формой. Мы все еще говорим о квадратах и кубах чисел, и этими терминами мы обязаны Пифагору. Пифагор точно так же говорил о продолговатых, треугольных, пирамидальных числах и т. д. Это были числа горстей гальки (или, более естественно для нас, числа горстей дроби), требуемые для образования формы. Пифагор, очевидно, полагал, что мир состоит из атомов, что тела построены из молекул, состоящих в свою очередь из атомов, упорядоченных в различные формы. Таким образом, он надеялся сделать арифметику научной основой в физике, так же, как и в эстетике.
Положение, согласно которому сумма