А если мы будем увеличивать максимально допустимый прыжок все больше и больше, будет ли игра всегда завершаться? Что будет, например, если мы позволим каждому игроку перемещаться максимум на 99 шагов? Можем ли мы быть уверены, что игра не затянется навечно, потому что на расстоянии до 99 шагов от простого числа может найтись следующее простое число? В конце концов, как мы знаем, существует бесконечно много простых чисел, так что вдруг удастся перепрыгивать от одного простого числа к следующему.
Но в действительности можно доказать, что игра завершится всегда. Каким бы вы ни сделали максимальный прыжок, всегда существует больший по длине интервал чисел, внутри которого нет ни одного простого. Давайте посмотрим, как найти 99 последовательных чисел, ни одно из которых не является простым. Возьмите число 100 × 99 × 98 × 97 × … × 3 × 2 × 1. Такое число записывается как 100! и называется факториалом 100. Мы воспользуемся следующим важным фактом: любое число от 1 до 100 является делителем 100!.
Теперь рассмотрим последовательные числа:
100! + 2, 100! + 3, 100! + 4, …, 100! + 98, 100! + 99, 100! + 100.
100! + 2 – составное число, потому что делится на 2. Аналогично делителем 100! + 3 будет 3 (100! делится на 3, если мы добавим к этому число 3, то результат будет по-прежнему делиться на 3). Действительно, все числа этой последовательности составные. Возьмите, к примеру, 100! + 53. Оно не является простым, потому что 100! делится на 53, а если мы прибавим 53, то результат будет по-прежнему делиться на 53. Мы нашли 99 последовательных чисел, ни одно из которых не является простым. Причина, по которой мы начали со 100! + 2, а не со 100! + 1, состоит в том, что наш простой метод позволяет лишь заключить, что 100! + 1 делится на 1, что не позволяет сказать, простое ли это число (в действительности оно не является таковым).
Итак, мы установили, что если максимальный прыжок равен 99, то наша игра в классики должна когда-нибудь закончиться. Но число 100! до нелепости большое. На самом деле игра в классики закончится задолго до него. Первое простое число, за которым следует 99 составных подряд, это 396 733.
Данная игра несомненно помогает понять, насколько случайным образом рассеяны простые числа во вселенной всех чисел. Но, даже если мы не в состоянии найти хитроумный способ, позволяющий перейти от одного простого числа к следующему, может быть, мы сумеем написать разумные формулы, которые выдают простые числа?
На следующем веб-сайте содержится информация о том, как завершится игра в