Начертательная геометрия: конспект лекций. Ирина Сергеевна Козлова

потому что находится в плоскости, ей параллельной. Однако прямая I параллельна и плоскости Q_II. Поэтому прямая I параллельна линии пересечения плоскостей Р_II и Q_II, т. е. прямой II.

      Доказательство обратного утверждения не имеет смысла для профильных прямых. Это объясняется тем, что тогда вместо двух плоскостей, проецирующих прямую на горизонтальную и фронтальную плоскости, существует только одна, дважды проецирующая плоскость (рис. 30).

      Видно, что вне зависимости от расположения двух профильных прямых I и II в пространстве их горизонтальные и фронтальные проекции всегда параллельны (или сливаются).

      Прямые будут являться скрещивающимися, если они не параллельны и не пересекаются. Это вытекает из того, что возможны только три случая взаимного расположения прямых.

      Для скрещивающихся прямых справедливы утверждения:

      1) точки пересечения одноименных проекций на горизонтальной и фронтальной плоскостях не лежат на одном перпендикуляре к оси х (прямые I и II на рис. 31).

      2) хотя бы в одной паре одноименные проекции не параллельны (прямые III и IV на рис. 31).

      Рисунок 31 показывает проекции четырех прямых, любая пара из которых скрещивается.

      Как и в рассмотренных ранее случаях, обратное утверждение для скрещивающихся прямых несправедливо при условии, что хотя бы одна из прямых является профильной.

      5. Перпендикулярные прямые

      Рассмотрим теорему: если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций (или лежит в ней), то прямой угол проецируется на эту плоскость без искажения.

      Приведем доказательство для прямого угла ABC, одна сторона которого ВС параллельна горизонтальной плоскости (рис. 32).

      Плоскость, в которой находится сторона угла АВ и ее проекция ab, перпендикулярна горизонтальной плоскости, так как содержит перпендикуляр Вb к этой плоскости. Прямая ВС перпендикулярна плоскости Q вследствие ее перпендикулярности двум пересекающимся прямым этой плоскости (АВ и Вb). Прямая bc параллельна ВС, т. е. она также перпендикулярна Q, а значит и прямой ab, которая лежит в ней.

      Ясно, что если на эпюре одна пара одноименных проекций двух прямых перпендикулярна, а одна из двух остальных проекций параллельна оси х, то такие прямые образуют в пространстве прямой угол.