Леонид родился 12 декабря 1928 г. в селе Знаменском Славянского района Донецкой области, через год семья переехала в рабочий поселок Прокатка под Краматорском. Смышленый, веселый мальчишка стать актером и не помышлял. Он грезил небом и мечтал поступить в летное училище. Поэтому в 1943 г. в Барнауле, куда родителей эвакуировали вместе с заводом, Леонид явился в военкомат, прибавил себе три года и попросил отправить его на фронт. Его тут же разоблачили – маленький рост и лицо вечного подростка, – пришлось школу оканчивать. Но в 1945 г. в Ленинграде Быков все же поступил во 2-ю спецшколу для летчиков. Проучиться ему довелось лишь месяц – отчислили опять же из-за маленького роста. Тогда Леонид и решил стать артистом, имея небольшой опыт на любительской сцене Дворца культуры им. Ленина. Конкурс в Киевскую школу актера он не выдержал. А вот экзаменаторы Харьковского театрального института им. Карпенко-Карого оказались куда прозорливее киевских, и уже с первого курса Быков играл Павку Корчагина на сцене Харьковского театра им. Шевченко – случай, не имеющий прецедента. А по окончании учебы, с 1951 по 1960 г. он был постоянным членом труппы этого театра: его репертуар на русском и украинском языке состоял практически из лирических и комедийных ролей, присущих актерскому амплуа Леонида.
Параллельно с учебой началась и работа Быкова в кино. Известный режиссер Ф.М. Эрмлер, первым снявший его в картине «Победители», сказал Леониду после нескольких дублей: «Ты обречен быть киноартистом. Есть люди, которые могут приходить в кино и уходить. Ты уже никуда не уйдешь». К сожалению, фильм так и не вышел на экраны, но актера заметили и предложили небольшую, но очень теплую, милую роль колхозного кучера Сашки в фильме «Судьба Марины» (1953 г.). Зрительская любовь пришла к Быкову после комедии «Укротительница тигров» (1954 г.), где без него просто невозможно представить все перипетии любовного треугольника. Леонид внес в картину трогательно-юмористическую ноту, которой отличались впоследствии почти все его работы. Безответная любовь, непутевость, упорство – вот основные характеристики быковских героев. Фильм имел огромный успех у публики, а имя актера стало известно всему Союзу. Когда же на экраны вышел «Максим Перепелица» (1955 г.), где Быков сыграл заглавную роль – этакого младшего, непутевого брата Василия Теркина, – народ признал его кинозвездой.
Запомнились зрителям и образы, созданные актером в фильмах «Чужая родня», «Дорогой мой человек», «Добровольцы», «Ссора в Лукашах», «Майские звезды». Соглашаясь на новые предложения, он старался выбирать роли самого разного плана, чтобы не повторять притягательный, но быстро поднадоевший ему тип Максима Перепелицы. Мастерство актера росло от фильма к фильму, и в «Алешкиной любви» (1961 г.) он использовал совершенно иные краски, показал бесконечную цельность